1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 1.掌握空间向量坐标运算公式,并能解决相应问题,培养数学抽象的核心素养. 2.掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题,强化数学运算的核心素养. 3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式,提升逻辑推理的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.空间向量运算的坐标表示 运算 坐标表示(a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)) 加法 a+b= . 减法 a-b= . 数乘 λa= ,λ∈R 数量积 a·b= . (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3 终点 起点 (x2-x1,y2-y1,z2-z1) [思考1] 已知向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a=b的充要条件是什么? 2.空间向量的平行与垂直的坐标表示 a1b1+a2b2+a3b3=0 [做一做1] 向量a=(3,2,1),b=(1,x,1),c=(y,4,2),若a⊥b,a∥c,则b+c=　　　　.  (7,2,3) 3.空间向量的模及夹角的坐标表示 (1)空间向量的模的坐标表示. (x2-x1,y2-y1,z2-z1) (2)向量夹角的坐标公式. 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), [思考2] 向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),a≠0,b≠0, x1x2+y1y2+z1z2>0是<a,b>为锐角的充要条件,对吗? 提示:不对,由a·b=x1x2+y1y2+z1z2>0得不到<a,b>为锐 角,因为当<a,b>=0时,a·b=x1x2+y1y2+z1z2>0也成立,所以x1x2+y1y2+z1z2>0是<a,b>为锐角的必要不充分条件. [做一做2] 若向量a=(-1,0,1),向量b=(2,0,k),且满足a与b的夹角为钝角,则k的取值范围是　　 　 　. (-∞,-2)∪(-2,2) 2 师生互动 合作探究 空间向量的坐标运算 [例1] 已知a=(3,2,-1),b=(5,-3,2),求: (1)a+2b; 解:(1)由已知a=(3,2,-1),b=(5,-3,2), 可得a+2b=(3,2,-1)+2(5,-3,2)=(13,-4,3). 解:(2)a·b=(3,2,-1)·(5,-3,2)=15-6-2=7. [例1] 已知a=(3,2,-1),b=(5,-3,2),求: (2)a·b; (3)(2a+b)·(a-3b). 解:(3)(2a+b)·(a-3b)=[2(3,2,-1)+(5,-3,2)]· [(3,2,-1)-3(5,-3,2)]=(11,1,0)·(-12,11,-7) =11×(-12)+1×11=-121. 空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法 (1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算. (2)熟练应用有关的公式: ①(a+b)2=a2+2a·b+b2; ②(a-b)2=a2-2a·b+b2; ③(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算2a·(-b),既可以利用运算律把它化成-2(a·b),也可先求出2a, -b,再求数量积. [针对训练] (1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(　　) A.a+b=(10,-5,2) B.a-b=(2,-1,6) C.a·b=(24,6,-8) D.|a|=6 D (2)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件(c-a)·2b=-2,则x=　　　　.  2 解析:(2)据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2), 故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2. 空间向量平行、垂直的坐标表示 [例2] (1)已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),求x和y的值; (2)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,求k的值. (1)判断向量是否平行、垂直,可根据向量平行、垂直的坐标表示转化为判断代数等式是否成立. (2)根据向量的平行、垂直求参数,可转化为解关于参数的 方程(组). [针对训练] 已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A (-3,-1,4),B(-2,-2,