1.1.2 空间向量的数量积运算-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 1.掌握空间向量的数量积,增强数学抽象的核心素养. 2.了解空间投影向量的概念以及投影向量的意义,增强数学抽象和直观想象的核心素养. 3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题,提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W=F·s=|F||s|cos θ,为了在数学中体现“功”这样一个标量,我们引进了“数量积”的概念. 探究:据此我们定义了平面向量的夹角及数量积运算.那么在空间向量中是否也如此呢? 答案:由于任意两个空间向量都可以通过平移 转化为同一平面内的向量,因此,两个空间向 量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 1.空间向量的夹角 ∠AOB 互相垂直 2.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b的数量积,记作a·b 运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b= ,λ∈R 交换律 a·b= . 分配律 (a+b)·c= . |a||b|cos<a,b> λ(a·b) b·a a·c+b·c 空间向量数量积的性质: (1)若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0; (2)若a与b同向,则a·b=|a||b|; 若反向,则a·b=-|a||b|; (4)|a·b|≤|a||b|. [思考] 空间向量的数量积运算满足结合律吗? 提示:不满足.即对于向量a,b,c,(a·b)c是与c共线的向量,而a·(b·c)是与a共线的向量,所以两者不一定 相等. 3.投影向量 如图(1),在空间,向量a向向量b投影,可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向 量c,c= ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 类似地,可以将向量a向直线l投影(如图(2)). 如图(3),向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A′,B′,得到向量 ,向量 称为向量a在平面β上的投影向量. -2e 2 师生互动 合作探究 向量的数量积运算 a2 (1)空间向量数量积运算的两种方法 ①利用定义:利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算. ②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行 运算. (2)在几何体中求空间向量数量积的步骤 ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合 形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. [针对训练] 已知在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=AA1=2, AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点.求下列向量的数量积. 利用数量积求向量的夹角 [变式探究2] 本例中若点N为AA1的中点,求异面直线CA1与AB夹角的余弦值. 求两个非零向量夹角的两种途径 (1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解. (2)利用数量积求异面直线夹角的余弦值. 利用向量数量积求距离 [例3] 如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离. 利用向量方法求长度或距离的基本方法 (1)将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. (3)可用|a·e|=|a||cos θ|(e为单位向量,θ为a,e的夹角)来求一个向量在另一个向量上的投影向量的大小. [针对训练] 如图,在空间四边形OABC中,OA,OB,OC两两成60°角,且OA=OB=OC=2,E为OA的中点,F为BC的中点,试求E,F间的距离. 判断或证明垂直问题 [例4] 如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD. 利用向量方法证明垂直问题的思路 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0(a,b是非零向量)可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的非零向量,只要证明这两个非零向量的数量积为0即可. (2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直即可. A.1 B.0 C.-1 D.-2 B 3.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则<a,b>= 　　　　.  60° 4.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中