1.1.1 空间向量及其线性运算-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念,提升数学抽象的核心素养. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程,培养逻辑推理的核心素养. 3.掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 小明从学校回家,需先从学校大门口骑上自行车向北行驶1 000 m,再向东行驶1 500 m,最后乘电梯上升15 m 到 5楼的住处.在这个过程中,小明从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示). 探究:(1)以上三个位移是同一个平面内的向量吗? 答案:(1)不是. 探究:(2)如何刻画小明同学行驶的位移? 答案:(2)借助于空间向量的运算. 1.空间向量 (1)定义. 在空间,把具有 和 的量叫做空间向量. (2)长度或模. 空间向量的大小叫做空间向量的 或 . 大小 方向 长度 模 (3)表示方法. 有向 |a| (4)特殊的空间向量. 名称 概念 记法 零向量 长度为 的向量 . 单位向量 模为1的向量 |a|=1 相反向量 与向量a 的向量,叫做a的相反向量 -a 共线向 量或平 行向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量 a∥b 相等向量 方向 的向量 a=b 0 0 长度相等而方向相反 互相平行或重合 相同且模相等 注意:0∥a. 2.空间向量的线性运算和运算律 运算律 交换律:a+b= ; 结合律:a+(b+c)= , λ(μa)= ; 分配律:(λ+μ)a= , λ(a+b)= . b+a (a+b)+c (λμ)a λa+μa λa+λb [思考1] 若λ∈R,向量a≠0,则向量λa的方向、模与向量a的方向、模之间分别有什么关系? 提示:①λ>0时,向量λa的方向与向量a的方向相同,λ<0时,向量λa的方向与向量a的方向相反,λ=0 时,λa为0,方向是任意的. ②λa的模为|λa|=|λ|·|a|,即向量a的模的|λ|倍. ACD 3.向量共线与向量共面的充要条件 (1)向量共线的充要条件. 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 . a=λb 把与向量a平行的 向量称为直线l的方向向量.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的 表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的 确定. (2)直线的方向向量. λa 非零 方向向量 方向向量 (3)共面向量. 平行 重合 平行 共面向量 (4)向量共面的充要条件. 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 . p=xa+yb 提示:①当λ+μ=1时,A,B,P三点共线. [思考3] 对空间任意四点P,M,A,B. 提示:(1)共面. 提示:(2)共面. 提示:(3)共面. C 2 师生互动 合作探究 空间向量的概念 [例1] 给出下列命题: ①两个相等的向量,若它们的起点相同,则终点必相同; ③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p; ④只有零向量的模为0. 其中真命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①真命题.根据向量相等的定义,可知两个相等的向量若起点相同,终点必相同,只有这样才能保证它们的方向和大小都相同. ③真命题.相等向量满足传递规律. ④真命题.根据零向量的定义可知正确.故选D. 处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素. 判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可. (2)两个关系. ①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件; ②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比较大小的. [针对训练] 下列命题中正确的个数是(　　) ①如果a,b是两个单位向量,则|a|=|b|; ②两个空间向量共线,则这两个向量方向相同; ③若a,b,c为非零向量,且a∥b,b∥c,则a∥c; ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内. A.1 B.2 C.3 D.4