第一章 空间向量与立体几何 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

章末总结 1 网络构建 归纳整合 判断对错(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)空间中任意两非零向量a,b共面.(　　) √ × (3)设{a,b,c}是空间的一组基底,则a,b,c中至多有一个零向量. (　　) × (4)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　) (5)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　　) × × (6)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角. (　　) × √ 2 题型归纳 素养提升 题型一　异面直线所成的角 专题归纳 [典例1] 如图,已知直线AO垂直于平面α,垂足为O,BC在平面α内,AB与平面α所成角的大小为60°,∠OBC=30°,OC⊥BC,则异面直线AB与OC所成角的余弦值为(　　) 用向量法求异面直线所成角的一般步骤: (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系. (2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出方向向量夹角的余弦值. (4)两异面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦值的绝对值. 题型二　直线与平面的夹角 [典例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别为PA,BC的中点. (1)证明:EF∥平面PCD; (2)若PD⊥平面ABCD,∠ADC=120°,且PD=2AD=4, 求直线AF与平面DEF所成角的正弦值. (2)解:连接BD,因为PD⊥平面ABCD,DF,DA⊂平面ABCD, 所以PD⊥DF,PD⊥DA, 因为四边形ABCD为菱形,∠ADC=120°, 所以△BCD为等边三角形, 因为F为BC的中点,所以DF⊥BC, 因为BC∥DA,所以DF⊥DA,所以DF,DA,DP两两垂直, 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系. 利用向量法求线面角的两种方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角). (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角(夹角为钝角时取其补角),取其余角就是斜线和平面所成的角. 题型三　二面角 [典例3] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1ACC1⊥平 面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,D是AB的中点,AA1= A1C,直线A1B与平面A1ACC1所成的角为30°. (1)求证:BC1∥平面A1CD; (1)证明:连接AC1交A1C于点E,连接DE, 因为四边形ACC1A1是平行四边形, 所以E是AC1的中点, 又因为D是AB的中点,所以DE∥BC1, 因为BC1⊄平面A1CD,DE⊂平面A1CD, 所以BC1∥平面A1CD. [典例3] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1ACC1⊥平 面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,D是AB的中点,AA1= A1C,直线A1B与平面A1ACC1所成的角为30°. (2)求平面A1BC与平面A1C1C的夹角的余弦值. 利用向量计算二面角大小的常用方法: (1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐(钝)二面角. (2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 题型四　平面图形的翻折、折叠问题 (1)求二面角C-BE-A的大小; 三步解决平面图形翻折问题: 题型五　立体几何中的探索性问题 [典例5] 在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形, ∠CBB1=60°,AB⊥AC,AB=AC,BC=AB1=2. (1)求证:平面ABC⊥平面BB1C1C; [典例5] 在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形, ∠CBB1=60°,AB⊥AC,AB=AC,BC=AB1=2. 立体几何中的探索性问题解题策略: (1)解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在,然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事 实,则说明假设成立,即存在,并可进一步证明;否则不成立,即不存在. (2)在棱上探寻一点满足各种条件时,要明确思路,设点坐标,应用共线向量定理a=λb(b≠0),利用向量相等,所求点坐标用λ表示,再根据条件代入,注意λ的范围. (3)利用空间向量的坐标运算,可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理. 真题体验 1.(2022·全国乙卷)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD, ∠ADB=∠BDC,E为AC的中点. (1)证明:平面BED⊥平面ACD; (1)证明:因为AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB, 所以△AD