2.5.1 椭圆的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.5　椭圆及其方程 2.5.1　椭圆的标准方程 1.了解椭圆标准方程的推导. 2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程. 3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.椭圆的定义 如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a> |F1F2|,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中, F1,F2称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的 . 两个定点 焦距 [思考1] 椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么? 提示:2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表: 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a=|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在,因此轨迹不存在 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 . 焦点 (-c,0)与(c,0) 与 . a,b,c的关系 c2= . 2.椭圆的标准方程 (0,-c) (0,c) a2-b2 [思考2] 确定椭圆的标准方程需要知道哪些量?在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 提示:需要知道a,b的值及焦点所在的位置;在椭圆的标准方程中a>b>c不一定成立,只要a>b,a>c即可,b,c的大小关系不定. [思考3] 根据椭圆方程,如何确定焦点位置? 提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就在相应的坐标轴上. 2 师生互动 合作探究 求椭圆的标准方程 [例1] 根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. [例1] 根据下列条件,求椭圆的标准方程: 利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤: (1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程. 提醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m≠ n,m>0,n>0). [针对训练] 根据下列条件,求椭圆的标准方程. [针对训练] 根据下列条件,求椭圆的标准方程. (2)经过点(2,-3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点. 椭圆的定义及其应用 [变式探究] (1)在本例中,若把“∠F1PF2=60°”改为“∠PF1F2=90°”,其余条件不变,试求△PF1F2的面积; (2)本例中,若过点F1的直线l与椭圆交于A,B两点,求△ABF2的周长. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解. 椭圆标准方程的应用 角度1　利用椭圆的标准方程求参数的值(取值范围) 根据椭圆的焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,考虑含x2,y2项对应的分母都大于0,然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小. A.(3,4) B.(3,+∞) C.(3,5) D.(4,5) 角度2　利用椭圆的标准方程确定椭圆的基本量 由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求出参数的值(或取值范围). (1)求椭圆的焦点坐标时,若方程不是标准方程,则应先将其化为标准方程,确定a2,b2的值和焦点所在的坐标轴,再利用关系式a2=b2+c2求出c,即可写出焦点坐标. 3 解析:因为焦点为(0,-1),所以焦点在y轴上,且 c=1,所以a2=4,b2=p=a2-c2=4-1=3. 角度3　判断点与椭圆的位置关系 (2)先由椭圆的标准方程求出a,c,再利用下面的结论:①|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内; ②|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上; ③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外. 与椭圆定义有关的轨迹问题 [例6] 已知△ABC的周长为14,顶点B,C的坐标分别为(0,3),(0,-3),则点A的轨迹方程为(　　) (1)对椭圆定义的三点说明: ①椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. ②定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ③常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件. (2)椭圆定义的两个应用: ①若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆. ②若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a. [针对训练] 已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点 B(3,0),圆P过点B,且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程. C B