2.4 曲线与方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.4　曲线与方程 1.结合已学过的曲线与方程的实例,了解曲线与方程的对应关系. 2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤,会求曲线的方程. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.曲线的方程与方程的曲线 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是 ; (2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在 .则称曲线C为 ,方程F(x,y)=0为 . 方程F(x,y)=0的解 曲线C上 方程F(x,y)=0的曲线 曲线C的方程 [思考1] 直线y=x上任一点M到两坐标轴距离相等吗?到两坐标轴距离相等的点都在直线y=x上,对吗? 提示:相等;不对.在平面直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0,y0)满足y0=x0或y0=-x0,即(x0,y0)是方程y=±x的解,反之,如果(x0,y0)是方程y=x或y=-x的 解,那么以(x0,y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等. [思考2] 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解,能否说f(x,y)=0是曲线C的方程? 提示:不能,还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是不是都在曲线上. 2.两条曲线的交点坐标 3.求动点M轨迹方程的步骤 (1)设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系,需先建立); (2)写出M要满足的几何条件,并将该几何条件用M的坐标表示出来; (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. [思考3] 求曲线的方程要“建立适当的坐标系”,这句话怎样理解? 提示:建立坐标系的基本原则: (1)让尽量多的点落在坐标轴上; (2)尽可能地利用图形的对称性,使对称轴为坐标轴. 建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步,应充分利用图形的几何性质,如中心对称图形,可利用对称中心为原点建系;轴对称图形以对称轴为坐标轴建系;条件中有直角,可将两直角边作为坐标轴建系等. (1)对曲线和方程概念的理解: ①坐标系建立的不同,同一曲线的方程也不相同. ②一般地,求哪个点的轨迹方程,就设哪个点的坐标是(x,y),而不要设成(x1,y1)或(x′,y′)等. ③方程化简到什么程度,课本上没有给出明确的规定,一般指将方程f(x,y)=0化成x,y的整式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点.求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线,求轨迹方程则不必说明. ④“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念:求轨迹方程只要求出方程即可;而求轨迹则应先求出轨迹方程,再说明轨迹的形状. (2)求曲线方程的常用方法: ①直接法:建立适当的坐标系后,设动点为(x,y),根据几何条件寻求x,y之间的关系式. ②定义法:如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程. ③代入法:利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系,把所求动点转换为已知动点.具体地说,就是用所求动点的坐标(x,y)来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此可求得动点坐标(x,y)满足的关系. ④参数法:如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出,也没有明显的相关点,但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响,此时,可先建立x,y分别与这个变量的关系,然后将该变量(参数)消去,即可得到x,y的关系式. 2 师生互动 合作探究 曲线与方程关系的应用 [例1] (1)命题“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”是命题“曲线C的方程是f(x,y)=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:(1)根据曲线与方程的概念,“曲线C的方程是f(x,y)=0”包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x,y)=0的解”和“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义.故选B. (2)若曲线C的方程为y=2x-1(1<x<5),则下列四个点中在曲线C上的是(　　) A.(0,0) B.(7,15) C.(2,3) D.(4,4) 解析:(2)由y=2x-1(1<x<5)得A,B的横坐标不满足题 意,D项中坐标代入后不满足方程.故选C. 两角度分析曲线与方程: (1)曲线上点的角度:曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性. (2)方程解的角度:以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性. A.1个 B.2