2.4 曲线与方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

2.4　曲线与方程 选题明细表 知识点、方法 题号 曲线与方程关系的应用 1,6 由方程研究曲线的性质 2,5 求曲线的方程 3,4,7,8,11,13 综合问题 9,10,12,14 基础巩固 1.曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=0与x轴的交点坐标是(　A　) A.(4,0)和(-1,0) B.(4,0)和(-2,0) C.(4,0)和(1,0) D.(4,0)和(2,0) 解析:在曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=0中,令y=0,则x2-3x-4=0,所以x=-1或x=4.所以交点坐标为(-1,0)和(4,0). 2.(多选题)方程(2x-y+2)·=0表示的曲线是(　CD　) A.一个点与一条直线 B.两个点 C.两条射线 D.一个圆 解析:原方程等价于x2+y2-1=0, 即x2+y2=1(一个圆), 或(两条射线). 3.已知点M(1,1),N(-3,5),则满足条件|PM|=|PN|的点P不可能在下列哪个方程表示的曲线上(　C　) A.2x-y+1=0 B.x2+y2=8 C.+=1 D.x2+y2-2x-4y-1=0 解析:设点P(x,y),点M(1,1),N(-3,5), 因为|PM|=|PN|, 所以=, 化简整理可得x-y+4=0, 所以满足条件|PM|=|PN|的点P的轨迹方程为x-y+4=0, 因为直线x-y+4=0与曲线2x-y+1=0,x2+y2=8,x2+y2-2x-4y-1=0都有公共点, 与曲线+=1无公共点, 所以点P不可能在方程 +=1表示的曲线上. 4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　A　) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 解析:设圆上任意一点为Q(x0,y0),PQ的中点为 M(x,y),根据中点坐标公式,得 因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=4上, 所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4, 化为(x-2)2+(y+1)2=1. 5.(多选题)已知曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成图形C,则下列说法正确的是(　ABC　) A.图形C关于x轴对称 B.图形C关于原点对称 C.图形C的周长是4π D.图形C的面积是8π 解析:由于点(x,y),(x,-y)均满足方程x2+y2=2|x|+2|y|,故A正确; 由于点(x,y),(-x,-y)均满足方程x2+y2=2|x|+2|y|,故B正确; 由于(x,y),(-x,y)均满足方程x2+y2=2|x|+2|y|,故图形C关于x轴、y轴对称,也关于原点对称,故当x≥0,y≥0时,曲线 x2+y2=2x+2y表示圆(x-1)2+(y-1)2=2在第一象限的部分,如图,故在第一象限中的轨迹的周长为π,所以根据对称性得图形C的周长是 4π,故C正确; 由C知,图形C在第一象限中的面积为×2×2+×π×2=2+π,所以图形C的面积是4π+8,故D错误. 6.曲线y=(x>0)与圆C:x2+y2=r2只有一个公共点,则圆C的面积为 　　　 　.  解析:曲线y=(x>0)关于直线y=x对称,曲线与圆C:x2+y2=r2只有一个公共点, 公共点必定在直线y=x上,所以解得交点坐标为(1,1), 所以圆的半径为, 所以圆的面积为2π. 答案:2π 7.曲线x2=2y关于点M(-1,2)对称的曲线方程为　　　　　　　.  解析:设A(x0,y0)为曲线x2=2y上的点,其关于点M(-1,2)对称的点为B(x,y),所以即 由于=2y0,所以(-2-x)2=2(4-y), 即(x+2)2=2(4-y). 答案:(x+2)2=2(4-y) 能力提升 8.在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=45°,点P的斜坐标定义为“若=x0e1+y0e2(其中e1,e2分别为与斜坐标系的x轴、y轴同方向的单位向量),则点P的坐标为(x0,y0)”.若F1(-1,0),F2(1,0),且动点M(x,y)满足||=||,则点M在斜坐标系中的轨迹方程是(　D　) A.x-y=0 B.x+y=0 C.x-y=0 D.x+y=0 解析:设M(x,y),由定义可知=-[(x+1)e1+ye2], =-[(x-1)e1+ye2], 由||=||可得(x+1)2+y2+2y(x+1)×=(x-1)2+y2+2y(x-1)×, 整理可得x+y=0. 9.(多选题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2= 1+|x|y就是其中之一(如图).下列说法正确的是(　ABD　) A.曲线C的图象关于y轴对称 B.曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点) C.曲线C所围