2.3.3 直线与圆的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.3.3　直线与圆的位置关系 1.理解直线与圆的三种位置关系. 2.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系. 3.能解决直线与圆位置关系的综合问题. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 “大漠孤烟直,长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句,它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,观察下面三幅太阳落山的图片. 探究:图片中,地平线与太阳的位置关系怎样? 答案:依次是相离、相切、相交 直线与圆的位置关系的判断 (1)几何法:如果☉C的半径为r,圆心C到直线l的距离 为d,则 直线l与☉C相交⇔d<r; 直线l与☉C相切⇔d=r; 直线l与☉C相离⇔d>r. Δ 0⇔直线l与圆C ; Δ 0⇔直线l与圆C ; Δ 0⇔直线l与圆C . > 相交 = 相切 < 相离 [提醒](1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时,不必求出方程组的实数解,只需将直线方程代入到圆的方程中,并消去一个未知数,得到一个关于x(或y)的一元二次方程,由Δ与0的大小关系判断方程解的个数,进一步判断两者的位置关系. (2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时,必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离. (3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系,应由条件而定,代数法是从方程角度考虑,但较烦琐;几何法是从几何角度考虑,方法简单,也是判断直线与圆的位置关系的常用方法. (1)自一点引圆的切线的条数 ①若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线; ②若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点; ③若点在圆内,则过此点不能作圆的切线. (2)切线方程的几个重要结论 ①经过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+ y0y=r2. ②经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)直线与圆相交时弦长的求法: 2 师生互动 合作探究 直线与圆的位置关系判断 [例1] 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当实数m为何值时,直线与圆: (1)有两个公共点; [例1] 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当实数m为何值时,直线与圆: (2)只有一个公共点; [例1] 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当实数m为何值时,直线与圆: (3)没有公共点. 直线与圆的位置关系的判断方法: (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. [针对训练] (1)直线l:x-y-4=0与圆C:x2+y2=8的位置关系为(　　) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 (2)已知直线kx-y+k-1=0与圆(x-2)2+y2=1有两个不同的交点,则实数k的取值范围是(　　) 直线与圆相切的有关问题 [例2] (1)直线x-y+m=0与圆x2+y2=2相切,则实数m等于 (　　) (2)已知圆x2+y2=4和点A(2,-1),则过点A的圆的切线方程为(　　) A.4x-3y-11=0 B.4x-3y-11=0或x=2 C.3x-4y-10=0 D.3x-4y-10=0或x=2 过一定点的圆的切线方程的求法: (2)当点在圆外时. ①几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0).由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,即得切线方程. ②代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,消去y后得到关于x的一元二次方程,由Δ=0求出k,可得切线方程. 易错警示:切线斜率不存在的情况不要漏解. [针对训练] 过点P(1,-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切,则切线长为(　　) [例3] 已知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=10m+ 7(m∈R). 圆的弦长问题 (1)证明:不论实数m取什么值,直线l与圆C总相交; [例3] 已知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=10m+ 7(m∈R). (2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时直线l的方程. 直线与圆相交时弦长的两种求法: (2)已知直线ax-y-a+2=0与圆x2+y2-4x-5=0相交于A,B两点,则|AB|的取值范围为(　　) 与圆有关的最值问题 [典例探究] 已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3, [典例探究] 已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3, (2)求y-x的最大值和最小值. 与圆有关的最值问