2.3.2 圆的一般方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.3.2　圆的一般方程 1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和 半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程解决简单问题. 3.灵活选取恰当的方法求圆的方程. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.圆的一般方程 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以化为 . 在这个方程中,如果令D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,则这个方程可以表示成 　① 的形式,其中D,E,F都是常数,形如①式的圆的方程称为圆的一般方程. x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 x2+y2+Dx+Ey+F=0 2.圆的一般方程与圆的标准方程的关系 对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的说明: 把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得 .② (1)当D2+E2-4F>0时,方程②表示以 为圆 心, 为半径的圆. (3)当D2+E2-4F<0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. [思考1] 圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同? 提示:圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显.圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征明显. [思考2] 所有二元二次方程均表示圆吗? 提示:不是,Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,只有在A=C≠0,B=0且D2+E2-4AF>0时才表示圆. 2 师生互动 合作探究 圆的一般方程的概念 [例1] (1)若方程x2+y2+mx+2y+5=0表示一个圆,则实数m的取值范围是(　　) A.(-4,4) B.(-3,3) C.(-∞,-4)∪(4,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) (2)若圆C:x2+y2-2(m-2)x+2(m-2)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(　　) A.2或1 B.-2或-1 C.1 D.-2 解析:(2)因为圆C:x2+y2-2(m-2)x+2(m-2)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,所以2m2-6m+4=0,解得m=1或m=2, 当m=2时,x2+y2=0,不符合题意,舍去, 当m=1时,x2+y2+2x-2y=0,即(x+1)2+(y-1)2=2,满足题意, 综上所述,实数m的值为1.故选C. 判定形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程是否表示圆 时,有如下两种方法: (1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0,成立则表示圆,否则不表示圆. (2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+ F=0这种标准形式,若不是,则要先化为这种形式再求解. [针对训练] (1)若方程x2+y2+4x-6y+1-2m=0表示圆,则实数m的取值范围为(　　) A.(-6,+∞) B.(6,+∞) C.(-7,+∞) D.(7,+∞) (1)解析:若方程表示圆,则42+(-6)2-4(1-2m)>0,即16+36-4+8m>0,得m>-6.故选A. (2)下列方程各表示什么图形?若表示圆,求其圆心和 半径. ①x2+y2+x+1=0; (2)解:①因为D=1,E=0,F=1, 所以D2+E2-4F=1-4=-3<0, 所以方程不表示任何图形. (2)下列方程各表示什么图形?若表示圆,求其圆心和 半径. ②x2+y2+2ax+a2=0(a≠0); 解:②因为D=2a,E=0,F=a2, 所以D2+E2-4F=4a2-4a2=0, 所以方程表示点(-a,0)(a≠0). (2)下列方程各表示什么图形?若表示圆,求其圆心和半径. ③2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0). 求圆的一般方程 [例2] 已知二次函数y=x2-4x+3交x轴于A,B两点,交y轴于C点.若圆M过A,B,C三点,则圆M的方程是(　　) A.x2+y2-2x-2y-3=0 B.x2+y2+2x-2y-3=0 C.x2+y2-4x-4y+3=0 D.x2+y2-4x-12y+3=0 应用待定系数法求圆的方程: (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F. [针对训练] 圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程. 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为圆过A(1,2),B(3,4), 所以D+