2.3.1 圆的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.3　圆及其方程 2.3.1　圆的标准方程 1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的 特征. 2.能根据所给条件求圆的标准方程. 3.掌握点与圆的位置关系. 4.圆的标准方程的求解. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.圆的定义 平面内到一 的距离等于 的点的集合是圆,其中 是圆心, 是圆的半径. 定点 定长 定点 定长 [思考] 确定一个圆需要几个几何要素? 提示:2个.圆心——确定圆的位置(定位);半径——确定圆的大小(定形). 2.圆的标准方程 (1)以C(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆的标准方程为 . (2)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程为 . 3.点与圆的位置关系 ☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),则点M1(x1,y1)在☉C外的充要条件是 ,点M2(x2,y2)在☉C内的充要条件是 . (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2 (x1-a)2+(y1-b)2>r2 (x2-a)2+(y2-b)2<r2 2 师生互动 合作探究 直接法求圆的标准方程 [例1] 圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是(　　) A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=3 C.(x+1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y+2)2=9 解析:因为圆心为(1,-2),半径为3,所以圆的方程为(x-1)2+ (y+2)2=9.故选D. (1)用直接法求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程. (2)确定圆心和半径时常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等. [针对训练] (1)以A(-2,1),B(1,5)为半径两端点的圆的方程是 (　　) A.(x+2)2+(y-1)2=25 B.(x-1)2+(y-5)2=25 C.(x+2)2+(y-1)2=25或(x-1)2+(y-5)2=25 D.(x+2)2+(y-1)2=5或(x-1)2+(y-5)2=5 (2)经过点(1,0)且圆心是两直线x=1与x+y=2的交点的圆的方程为 (　　) A.(x-1)2+y2=1 B.(x-1)2+(y-1)2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y-1)2=2 待定系数法求圆的标准方程 [例2] 求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l: 3x+10y+9=0上的圆的标准方程. (1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤: 设方程((x-a)2+(y-b)2=r2)→列方程组(由已知条件,建立关于a,b, r的方程组)→解方程组(解方程组,求出a,b,r)→得方程(将a,b,r代入所设方程,得所求圆的标准方程). (2)充分利用圆的几何性质,可使问题计算简单. [针对训练] (1)已知圆C过点A(1,4),B(3,2),且圆心C在直线 y=0上,则圆C的标准方程是(　　) A.(x+1)2+y2=20 B.(x-1)2+y2=20 C.x2+(y+1)2=20 D.x2+(y-1)2=20 (2)过点A(-6,2),B(2,-2)且圆心在直线x-y+1=0上的圆的方程是(　　) A.(x-3)2+(y-2)2=25 B.(x+3)2+(y+2)2=5 C.(x-3)2+(y-2)2=5 D.(x+3)2+(y+2)2=25 圆的标准方程的实际应用 [例3] 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m). 解决圆的方程的实际应用题的步骤: [针对训练] 已知隧道的截面是半径为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线的一侧行驶,问:一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入? 1.已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=2,则其圆心C的坐标与面积分别为(　 　) B 2.圆心为(1,2),且过(0,0)的圆的方程为(　 　) C 3.点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是(　 　) D 4.圆心在x轴上且过点(1,3)的一个圆的标准方程可以是 　　　 　.  (x-1)2+y2=9(答案不唯一) 解析:以x轴上的点(1,0)为圆心,则半径r=3,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=9. [例1]