2.2.4 点到直线的距离-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.2.4　点到直线的距离 1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题. 2.会求两条平行直线之间的距离. 3.理解点到直线的距离公式的推导. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 如图,在铁路MN附近P地有一大型仓库,现要修建一条公路与之连接起来.那么如何设计才能使公路最短?最短是多少?现在就让我们通过本节课的学习,来解决这个问题. 探究:你能用已学过的知识求出P(-1,2)到直线l1:2x+y-5=0的距 离吗? 答案:能,先求垂足的坐标,再利用两点之间的距离公式计算. 1.点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d: (1)d= . (2)v=(A,B)是直线l的一个法向量,P1(x1,y1)是直线l上任意一点: d= . (2)当点P在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用,故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系. (3)当直线方程Ax+By+C=0中A=0或B=0时,公式也成立,还可以用下列方法求点到直线的距离: ①P(x0,y0)到x=a的距离d=|a-x0|; ②P(x0,y0)到y=b的距离d=|b-y0|. 2.两条平行线间的距离 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d: d= (A,B不全为0,C1≠C2). [提醒](1)使用两条平行直线间的距离公式时,直线的方程必须是一般式,而且方程中x,y的系数分别对应相等,对于系数不同的 方程,应先将系数化为相等后再求距离. (2)两条平行直线间的距离,也可以转化为一条直线上的一个点到另一条直线的距离,即转化为点到直线的距离. (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时,可利用数形结合来解决. ①两条直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2,则d= |x2-x1|; ②两条直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则d= |y2-y1|. 2 师生互动 合作探究 点到直线的距离 [例1] (1)点A(1,2)到直线l:3x-4y-1=0的距离为(　　) (2)已知点A(a,2)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于 (　　) 点到直线的距离的求解方法: (1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式方程,直接应用点到直线的距离公式求解即可. (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点到它们的距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0-b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可. [针对训练] 求点P(3,-2)到下列直线的距离: [针对训练] 求点P(3,-2)到下列直线的距离: (2)y=6; 解:(2)因为直线y=6与y轴垂直, 所以点P到它的距离d=|-2-6|=8. (3)x=4. 解:(3)因为直线x=4与x轴垂直,所以点P到它的距离d=|3-4|=1. 两条平行线间的距离 [例2] (1)直线y=x与直线y=x+1间的距离等于(　　) (2)已知直线l1:x+ay+5=0,l2:ax+y+7=0,若l1∥l2,则l1与l2间的距离为(　　) 求两条平行线间的距离一般有两种方法: (1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点 时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算. A.2x+y+4=0 B.2x+y-4=0 C.2x+y+6=0 D.2x+y-6=0 A.(-1,3) B.(-1,1)∪(1,3) C.(-1,1) D.(1,3) 距离公式的综合应用 [例3] (1)已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0,则直线l关于点A的对称直线l′的方程为　　　　　　　;  3x+y+18=0 (2)已知直线l1:x-y+3=0,直线l:x-y-1=0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2,则直线l2的方程为　　　　　　　.  x-y-5=0 (1)点关于直线对称的点的求法 (2)直线关于直线对称的直线的求法 ①求直线l1:A1x+B1y+C1=0关于直线l:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称,在l1上任取两点P1和P2,求出P1,P2关于直线l的对称点,再用两点式求出l2的方程. ②求直线l1:Ax+By+C1=0关于直线l:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程的方法是设l2:Ax+By+C2=0,利用l1与l和l2与l的距离相等,求出参数C2的值,从而得l2的方程. [针对训练] (1)直线y=2x+1关于直线y=x对称的直线方程