2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.理解直线斜率的几何意义,掌握倾斜角与斜率的对应 关系. 3.掌握过两点的直线的斜率公式. 4.掌握直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 我们知道,经过两点有且只有一条直线,那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?如图所示,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…我们可以看出这些直线都过点P,但它们的“倾斜程度”不同,怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢? 1.直线的倾斜角 (1)定义:一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按 旋转到与直线 时所转的 记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为 . 逆时针方向 重合 最小正角 0° [做一做1] 如图所示,直线l的倾斜角为(　 　) A.30° B.60° C.120° D.以上都不对 C 解析:根据倾斜角的定义知,直线l的倾斜角为 30°+ 90°=120°. (2)性质:一般地,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,直线l的倾斜角为θ,则: ①当y1=y2时(此时必有x1≠x2),θ= ; 0° ②当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ= ; 90° ③当x1≠x2且y1≠y2时,tan θ= . [思考1] 当x1≠x2且y1=y2时,③式中的式子成立吗? 提示:成立. 2.直线的斜率 (1)定义:如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称 为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线 l的斜率 .  k=tan θ 不存在 (2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当 x1≠x2时,直线l的斜率为k= ;当x1=x2时,直线l的斜率 . 不存在 [思考2] 运用(2)中公式计算直线AB的斜率时,需要考虑A,B的顺序吗? 3.直线的方向向量 (1)定义:一般地,如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l ,则称向量a为直线l的一个方向向量,记作 . (2)直线l的方向向量的性质. ①如果a为直线l的一个方向向量,那么对于任意的实数λ≠0,向量 都是l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定 . 平行或重合 a∥l λa 共线 (3)直线的方向向量与直线的斜率的关系. 一般地,如果已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则: ①当u=0时,显然直线l的斜率不存在,倾斜角为 ; 90° ②当u≠0时,直线l的斜率是存在的,而且此时(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知1·v=k·u,从而k= ,因此可知倾斜角满足tan θ= . [做一做2] 直线l经过点A(2,1)和B(-5,-2),则直线l的一个方向向量为　 　　　.  (-7,-3) 4.直线的法向量 (1)定义:一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量,记作 . (2)直线的方向向量与法向量 . v⊥l 互相垂直 [做一做3] 若直线的法向量a=(-4,2),则直线的方向向量不可能是(　 　) A.(-2,4) B.(1,2) C.(3,6) D.(-1,-2) A 解析:因为-4×(-2)+2×4=16≠0,所以(-2,4)不可能是直线的方向向量;易知B,C,D都可以是直线的方向 向量. 斜率与倾斜角的对应关系: 图示 倾斜角 (范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率 (范围) 0 (0,+∞) 不存在 (-∞,0) 结论:直线的斜率与倾斜角不是一一对应,当倾斜角为90°时,直线的斜率不存在. 2 师生互动 合作探究 直线的倾斜角和斜率 (2)已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB= 4,则点B的坐标为(　　) A.(2,0)或(0,-4) B.(2,0)或(0,-8) C.(2,0) D.(0,-8) (1)求直线的倾斜角的方法及两点注意: ①方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形) 求角. ②两点注意:a.当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°. b.注意直线的倾斜角的取值范围是[0°,180°). (2)求直线的斜率. ①判断两点