1.2.5 空间中的距离-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

1.2.5　空间中的距离 能用向量方法解决点到直线,点到平面,相互平行的直线,相互平行的平面的距离问题. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.空间中两点之间的距离 C 2.点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A,因为l与A能确定一个平面,所以过A可以作直线l的一条 ,这条垂线段的长称为点A到直线l的距离.点到直线的距离也是这个点与直线上点的 连线的长度. 垂线段 最短 [思考] 如何用向量法求点到直线的距离? A 3.点到平面的距离 给定空间中一个平面α及α外一点A,过A可以作平面α的一条 ,这条垂线段的长称为点A到平面α的距离.点到平面的距离也是这个点与平面内点的 连线的长度. 垂线段 最短 [提醒] 若点A是平面α内一点,则约定A到平面α的距离为0. [做一做3] 已知平面α的一个法向量n=(1,0,1),点 A(-1,1,0)在α内,则平面外点P(-1,1,1)到平面α的距离为　　　　.  4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的 距离 (1)定义: ①当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离. ②当平面与平面平行时,一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离. 一般地,与两个平行平面同时垂直的直线,称为这两个平面的公垂 线,公垂线夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的公垂线段.显然,两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长. (1)特殊的距离: x=a(a≠0),表示平行于yOz面的平面,且与yOz面的距离为|a|;y=b(b≠0),表示平行于xOz面的平面,且与xOz面的距离为|b|;z=c(c≠0),表示平行于xOy面的平面,且与xOy面的距离为|c|. 2 师生互动 合作探究 空间中两点之间的距离 计算空间两点间距离的两种方法: (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离),此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时. (-1,-1,-1) 点与直线的距离 [例2] 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3, ∠ABC=90°,则点B到直线A1C1的距离为　　　　.  求点M到直线AB的距离的方法: 点与平面之间的距离 [例3] 如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形, △PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD, CD的中点. (1)求证:平面EFG⊥平面PAB; [例3] 如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形, △PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD, CD的中点. (2)求点A到平面EFG的距离. 求点P到平面α的距离的三个步骤: (2)确定平面α的法向量n. 直线与平面、平面与平面之间的距离 [例4] 已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点. (1)若D1C1的中点为H,求直线A1H与直线FC的距离; [例4] 已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点. (2)求平面AEC1与平面FB1C的距离. 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离,都可以归结为点到平面的距离来求解. [针对训练] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC, CD的中点,则BD到平面EFD1B1的距离为　　　　.  C D 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为　　　　.  [例1] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为　　　　.  点击进入 课时作业 谢谢观看 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则 AB=||= . [做一做1] 设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|等于(　 　) A. B. C. D. 解析:因为点M坐标为(2,,3), 所以|CM|==. 提示:如图,设l是过点P平行于向量s的直线,A是直线l外一定点. 过A作AA′⊥l,垂足为A′,则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度,而向量在s上的投影的大小 |·s0|等于线段PA′的长度,所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d=.其中s0是s同方向的单位向量.点A到直线l的距离公式也可以写成d=. [做一做2] 已知直线l过定点A(2,3,1),且方向向量为s=(0,1,1)