1.2.4 二面角-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

1.2.4　二面角 1.能用向量语言表述平面与平面的夹角. 2.能用向量方法解决简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.二面角及其度量 定义:平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的 所组成的图形称为 ,这条直线称为二面角的 ,这两个半平面称为二面角的 . 在二面角 的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角. 二面角及其平面角的大小的范围为[0,π]. 两个半平面 二面角 面 α-l-β 棱 2.用空间向量求二面角的大小 (1)二面角的平面角:若有①O∈l,②OA⊂α,OB⊂β, ③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α-l-β的平面角是∠AOB. 2 师生互动 合作探究 向量法求二面角的大小 [例1] 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC, PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求平面EAC与平面ABCD的夹角. 解:法一　如图,以A为坐标原点,分别以AC,AB,AP所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时,用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单的运算即可求出,有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补),但我们可以根据图形观察得到结论,因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的. (2)注意法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角. [针对训练] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,求二面角 D-AE-B1的余弦值. 几何法求二面角大小 [例2] 如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若△PAB是边长为2的正三角形,且CO⊥AB,求二面角P-AC-B的正弦值. 找二面角的平面角的几何方法有以下三种:(1)定义 法.(2)作棱的垂面.(3)过一个平面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线(三垂线定理法). 空间中的翻折与探索性问题 [例3] 如图(1),在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC, CD=2AB=2BC=4,过点A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC,如图(2),取AD的中点F,连接BF,CF,EF. (1)求证:BC⊥平面DEC; (1)证明:因为DE⊥EC,DE⊥AE,AE∩EC=E,AE, EC⊂平面ABCE,所以DE⊥平面ABCE, 又因为BC⊂平面ABCE,所以DE⊥BC, 又因为BC⊥EC,DE∩EC=E,DE,EC⊂平面DEC, 所以BC⊥平面DEC. [例3] 如图(1),在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC, CD=2AB=2BC=4,过点A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC,如图(2),取AD的中点F,连接BF,CF,EF. (2)求二面角C-BF-E的余弦值. (1)与空间角有关的翻折问题的解法: 要找准翻折前后图形中的不变量及变化的量,再结合向量知识求解相关问题. (2)关于空间角的探索问题的处理思路: 利用空间向量解决空间角中的探索问题,通常不需要复杂的几何作图、论证、推理,只需先假设结论成立,设出空间的坐标,通过向量的坐标运算进行推断,把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理即可. [针对训练] 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2). (1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ; [针对训练] 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2). (2)是否存在实数λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明 理由. [典例探究] 四边形ABCD是边长为2的正方形,MA和PB都与平面ABCD垂直,且PB=2MA=2,则平面PMD与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为　　　　.  利用面积射影法求二面角的关键在于正确作出或找出原图形的射影图形,并且要根据图形的特征准确计算出原来