1.2.3 直线与平面的夹角-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

1.2.3　直线与平面的夹角 1.能用向量语言表述直线与平面的夹角. 2.能用向量方法解决简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直,则称这条直线与这个平面所成的角为 . (2)如果一条直线与一个平面平行,或直线在平面内,则称这条直线与这个平面所成的角为 . 90° 0° (3)平面的斜线与它在平面内的射影所成的角,称为这条斜线与平面所成的角. ①如图所示,设AO是平面α的一条斜线段,O为斜足,A′为A在平面α内的射影,而OM是平面α内的一条射线, A′M⊥OM.记∠AOA′=θ1,∠A′OM=θ2,∠AOM=θ,则 cos θ=cos θ1cos θ2. ②平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. ③空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的,直线与平面所成的角也称为它们的夹角. [思考1] 一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线?它是唯一的吗? 提示:斜线在平面内的射影是一条直线,是唯一的. 2.用空间向量求直线与平面的夹角 特别地,cos θ= ,sin θ= . sin<v,n> |cos<v,n>| (1)∠BAC在平面α内,过该角的顶点A引平面α的斜线AP,PM⊥α于点M,则∠PAB=∠PAC⇔∠MAB=∠MAC. (2)P是平面α外一点,PP′⊥α于点P′,过P作平面α的斜线段PA1,PA2,且A1,A2为斜足,斜线段PA1,PA2在平面α内的射影为 P′A1,P′A2.PA1,PA2与平面α所成的角分别为θ1,θ2,则PA1=PA2⇔P′A1=P′A2⇔θ1=θ2, PA1>PA2⇔P′A1>P′A2⇔θ1<θ2. 2 师生互动 合作探究 利用定义求直线与平面的夹角 [例1] 如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB, ∠ABC=60°,∠BCA=90°. (1)求证:BC⊥平面PAC; (1)证明:因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又∠BCA=90°,所以AC⊥BC,又AC⊂平面PAC, PA⊂平面PAC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC. [例1] 如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB, ∠ABC=60°,∠BCA=90°. (2)若D为PB的中点,试求AD与平面PAC夹角的正弦值. 定义法求直线和平面所成角的步骤: (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线. (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角即为所求的角. (3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出 该角. 利用cosθ=cosθ1cosθ2求直线与平面的夹角 cos θ=cos θ1·cos θ2的应用: (1)利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2求直线与平面的夹角,应明确图形中θ,θ1,θ2. (2)①当θ=90°⇔θ2=90°,即符合三垂线定理; ②由0≤cos θ2≤1,所以cos θ≤cos θ1⇒θ1≤θ, 即θ1为所有θ角中最小的角. [针对训练] 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形, PD⊥平面ABCD.若∠PBC=60°,求直线PB与平面ABCD所成的 角θ. 利用向量法求直线与平面的夹角 (1)证明:BD⊥PA; (1)证明:如图所示,取AB中点为O,连接DO,CO, 则OB=DC=1. 又DC∥OB,所以四边形DCBO为平行四边形. 又BC=OB=1,所以四边形DCBO为菱形, 所以BD⊥CO. 同理可得,四边形DCOA为菱形,所以AD∥CO, 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,所以PD⊥BD, 又AD∩PD=D,AD,PD⊂平面ADP,所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP,所以BD⊥PA. (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 用向量法求直线与平面所成的角的步骤: (1)建立空间直角坐标系. (3)求平面的法向量n. [针对训练] 如图,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值. 解:由题意知,可建立以AD所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,AS所在直线为 z轴的空间直角坐标系(如图所示).若设AB=1,则 A(0,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1), “最小角定理”的应用 [典例探究] 如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,P是棱BC上的动点.记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1,与直线BC所成角