1.2.2 空间中的平面与空间向-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

1.2.2　空间中的平面与空间向量 1.能用向量语言表述平面,理解平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系. 3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 牌楼,与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种,多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构,一般较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线l与柱子所在的直线l1垂直,我们就能知道下边线l与地面α平行. 探究:能否用空间向量表示这一线面位置关系? 答案:能. 1.平面的法向量 (1)定义:如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的 与平面α ,则称n为平面α的一个 .此时也称n与平面α ,记作n⊥α. [思考1] 平面α的法向量有多少个?它们之间有什么关系? 提示:无数个,彼此平行. [思考2] 一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么 关系? 提示:垂直. 直线 垂直 法向量 垂直 (2)性质. ①如果直线l垂直平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个 . ②如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λn也是平面α的一个法向量,而且平面α的任意两个法向量都 . 法向量 平行 垂直 唯一确定 (3)应用. ①如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量.如图(a)(b)所示. 当n∥v时,l与α ;当n⊥v时,l与α ,或者l在α内. 垂直 平行 ②如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,如图(c)(d)所示. 当n1⊥n2时,α1与α2 ; 当n1∥n2时,α1与α2 . 垂直 平行 2.三垂线定理及其逆定理 (1)已知空间中的平面α以及点A,过A作α的垂线l,设l与α相交于点A′,则A′就是点A在平面α内的 (也称为 ). 空间中,图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F′,称为图形F在平面α内的 . (2)三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的 垂直,则它和这条斜线 . (3)三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线 ,则它和这条斜线在该平面内的 垂直. [提醒] 定理中的已知直线必须是已知平面内的直线. 射影 投影 射影 射影 垂直 垂直 射影 2 师生互动 合作探究 求平面的法向量 [例1]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的一个法向量; 解:(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1,所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量. [例1]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. (2)求平面MCA1的一个法向量. 平面的法向量的求解方法: (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. 利用空间向量证明空间线面、面面的位置关系 角度一　证明平行问题 [例2] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点.设Q是CC1上的点.当点Q在什么位置时, BQ∥平面PAO? [变式探究] 本例若把“Q是CC1上的点”改为“Q是CC1的中点”,其他条件不变,求证:平面D1BQ∥平面PAO. 角度二　证明垂直问题 [例3] 在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°,AC⊥FB. (1)求证:AC⊥平面FBC; (1)证明:AB=2BC,∠ABC=60°, 在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos 60°=3BC2, 所以AC2+BC2=4BC2=AB2,所以∠ACB=90°,所以AC⊥BC. 又因为AC⊥FB,FB∩BC=B,所以AC⊥平面FBC. [例3] 在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为等