1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.空间中向量的坐标 (1)单位正交基底:一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是 向量,而且这三个向量两两 ,就称这组基底为单位正交基底. 单位 垂直 单位正交分解 (x,y,z) [做一做1] 已知{e1,e2,e3}是单位正交基底,则 p=-e1+ 2e2+3e3的坐标为　　 　　.  (-1,2,3) 2.空间向量的运算与坐标的关系 x1x2+y1y2+z1z2 提示:不一定,点A与原点重合时是,不重合时不是. [提醒] 空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广(只是在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标),与平面向量的坐标运算相比,空间向量的坐标运算适用范围更广,它可以解决立体几何中的相关问题. D 解析:4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+ (-4,8,0)=(8,0,4). 6 解析:由题意得a·b=-3×1+2x-5=4,解得 x=6. 3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 4.空间直角坐标系 (1)在空间直角坐标系Oxyz中,x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴;通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为 平面、 平面、 平面.z轴的正方向一般按照如下的方式确定:在z轴的正半轴看xOy平面,x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合. (2)空间一点M的位置可以用 来表示, 称为点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作 ,其中 称为点M的横坐标(或x坐标), 称为点M的纵坐标(或y坐标), 称为点M的竖坐标(或z坐标). xOy yOz zOx 有序实数组(x,y,z) 有序实数组(x,y,z) M(x,y,z) x y z (3)在空间直角坐标系中,三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成八个部分.习惯上,每一部分都称为一个卦限,按逆时针方向,在坐标平面xOy的上方,分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限;在xOy的下方,分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限. [提醒] 点的坐标与向量的坐标表示方法不同,如点A(x,y,z),向量a=(x,y,z). [做一做4] (1)在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标是 　　　　;  (2)在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标为 　　　　.  (a,0,0) (a,0,c) 5.空间向量坐标的应用 空间直角坐标系中的点P(x,y,z)的对称点的坐标如下表: 对称轴(或对称中心或对称平面) 点P的对称点的坐标 xOy平面 (x,y,-z) yOz平面 (-x,y,z) zOx平面 (x,-y,z) 原点 (-x,-y,-z) x轴 (x,-y,-z) y轴 (-x,y,-z) z轴 (-x,-y,z) 求对称点的问题可以用“关于谁对称谁不变,其余均取相反数”的规律来记忆. 2 师生互动 合作探究 空间向量的坐标运算 ②3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9)-(2,0,-6)=(4,3,15). ③(p-q)·(p+q)=p2-q2=|p|2-|q|2=(22+12+32)-[22+02+(-6)2]=-26. 用坐标表示空间向量的步骤: (2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法或减法运算,最后进行数量积运算,有括号的先算括号里的. (1) 解析:(1)由题意得a+b=(0,2,1), 所以(a+b)·b=0×(-1)+2×0+1×(-2)=-2.故选A. 解析:(2)由题意知,p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+ 4(k+i)=12i+14j+10k,所以向量p的坐标为(12,14,10).故选C. 空间直角坐标系 (1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时,一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标. (3)利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤: [针对训练] 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标. 空间中点的对称问题 [例3] (1)点A(