1.1.1 空间向量及其运算-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.空间向量的概念 大小 方向 模 长度 长度 (2)几类特殊的空间向量. 名称 定义及表示 零向量 始点和终点相同的向量称为 ,零向量的方向是不确定的,通常用0表示,零向量的模为0.|0|=0 单位向量 的向量称为单位向量,e是单位向量的充要条件是|e|=1 相反向量 与向量a大小 、方向 的向量,称为a的相反向量,记为-a 相等向量 大小相等、方向 的向量称为相等向量.向量a和b相等,记作a=b 零向量 模等于1 相等 相反 相同 向量平行 如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行 向量共线 两个向量a和b平行,记作a∥b,两个向量平行也称为两个向量共线 向量共面 空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在同一平面内,则称这些向量共面;否则,称这些向量不共面 2.空间向量的线性运算 (1)加减运算及运算律. 空间向量加法交换律:a+b=b+a. (2)空间向量数乘运算. 给定一个实数λ与任意一个空间向量a,规定它们的乘积是一个空间向量,记作λa. ①当λ≠0且a≠0时,|λa|=|λ||a|. λa的方向: 当λ>0时,与a的方向 ; 当λ<0时,与a的方向 . 相同 相反 ②当λ=0或a=0时,λa=0. 上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量. (3)空间向量的线性运算满足以下运算律. 对于实数λ与μ,向量a与b: ①λ(μa)=(λμ)a; ②λa+μa=(λ+μ)a; ③λ(a+b)=λa+λb. ABCD 3.空间向量的数量积 ∠AOB [提醒] 对空间两个向量夹角的理解,应注意以下几点: (1)由概念知两个非零向量才有夹角,零向量与其他向量之间不定义夹角,并约定0与任意向量a都垂直. (2)对空间任意两个非零向量a,b,有: ①<a,b>=<b,a>=<-a,-b>=<-b,-a>; ②<a,-b>=<-a,b>=π-<a,b>; [思考] 空间向量的数量积的运算符号“·”能省略吗?能写成“×”吗? 提示:不能. (4)空间向量的数量积的性质. [提醒] (1)两个向量的数量积是一个实数,而不是向量,其符号由夹角θ的余弦值的符号决定.当θ为锐角时,a·b>0,但当a·b>0时,θ不一定是锐角,因为θ也可能为0;当θ为钝角时,a·b<0,但当a·b<0时,θ不一定是钝角,因为θ也可能为π. (3)数量积运算不满足结合律. 数量积运算只满足交换律、加法对乘法的分配律及数乘结合律,但不满足乘法结合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c).这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线. (4)在求两个复杂向量的数量积时,根据向量数量积满足的运算律,可按多项式的乘法公式展开运算.常用的变形公式有(a+b)2=a2+2a·b+b2, (a-b)2=a2-2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2. (6)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对于任意一个与a垂直的非零向量b,都有a·b=0. B 2 师生互动 合作探究 有关空间向量的概念的理解 在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同,大小相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等,方向相反. 空间向量的线性运算 角度1　空间向量的加减运算 [例2] 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量. [例2] 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量. [例2] 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量. 根据向量相等的概念,运算时可以根据需要平移向量;化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法 则.在化简过程中遇到减法时,可灵活应用相反向量转化成加法,也可以按减法法则进行运算,加、减法之间可相互转化. [针对训练] 如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,M为A1C1与B1D1的交点,化简下列向量表达式. [针对训练] 如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,M为A1C1