2.5.1 椭圆的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.5　椭圆及其方程 2.5.1　椭圆的标准方程 学习目标 1.了解椭圆标准方程的推导. 2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程. 3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程. 1.椭圆的定义 如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a>|F1F2|,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中,两个定点F1,F2称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距. [思考1] 椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么? 提示:2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表: 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a=|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在,因此轨迹不存在 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0) 焦点 (-c,0)与(c,0) (0,-c)与(0,c) a,b,c的关系 c2=a2-b2 [思考2] 确定椭圆的标准方程需要知道哪些量?在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 提示:需要知道a,b的值及焦点所在的位置;在椭圆的标准方程中a>b>c不一定成立,只要a>b,a>c即可,b,c的大小关系不定. [思考3] 根据椭圆方程,如何确定焦点位置? 提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就在相应的坐标轴上. 求椭圆的标准方程 [例1] 根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. (2)经过点P(1,),两焦点间的距离为2,焦点在x轴上. 解:(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 因为2a=26,2c=10,所以a=13,c=5, 所以b2=a2-c2=144, 所以所求椭圆的标准方程为+=1. (2)因为焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),2c=2,所以a2=b2+1, 又椭圆经过点P(1,),所以+=1, 解得b2=3,所以a2=4, 所以椭圆的标准方程为+=1. 利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤: (1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程. 提醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0). [针对训练] 根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)经过两点A(0,2),B(,); (2)经过点(2,-3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点. 解:(1)设所求椭圆的方程为+=1(m>0,n>0,且m≠n),因为椭圆过点A(0,2),B(,),所以解得 所以椭圆的标准方程为x2+=1. (2)因为椭圆9x2+4y2=36的焦点为(0,±),则可设所求椭圆方程为+=1(m>0),又椭圆经过点(2,-3),则有+=1,解得m=10或m=-2(舍去),所以椭圆的标准方程为+=1. 椭圆的定义及其应用 [例2] 已知P为椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 解:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°, 即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4, 即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|=4, 所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=. [变式探究] (1)在本例中,若把“∠F1PF2=60°”改为“∠PF1F2=90°”,其余条件不变,试求△PF1F2的面积; (2)本例中,若过点F1的直线l与椭圆交于A,B两点,求△ABF2的周长. 解:(1)由椭圆方程+=1,知a=2,c=3,由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,且|F1F2|=6,在△PF1F2中,∠PF1F2=90°, 所以|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2, 从而(4-|PF1|)2=|PF1|2+36, 则|PF1|=, 因此=·|F1F2|·|PF1|=. 故所求△PF1F2的面积为. (2)因为|AF1|+|AF2|=2a, |BF1|+|BF2|=2a, 则△ABF2的周长为 |AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8, 所以△ABF2的周长为8. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点