2.3.4 圆与圆的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.3.4　圆与圆的位置关系 学习目标 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 2.了解两圆相交或相切时一些简单的几何性质的应用. 3.掌握利用圆的对称性灵活解决问题的方法. 　　如图为日环食全过程.可以用两个圆来表示变化过程. 　圆与圆的位置关系的判断 (1)几何法:根据两个圆的半径r1,r2以及两个圆的圆心距d来判断两个圆的位置关系: 两个圆外离⇔d>r1+r2; 两个圆外切⇔d=r1+r2; 两个圆相交⇔|r1-r2|<d<r1+r2; 两个圆内切⇔d=|r1-r2|; 两个圆内含⇔d<|r1-r2|. (2)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 一元二次方程 两圆的公切线: (1)两圆相外离,有四条公切线; (2)两圆相外切,有三条公切线; (3)两圆相交,有两条公切线; (4)两圆相内切,有一条公切线; (5)两圆相内含,没有公切线. [提醒] (1)两圆相切时,连心线过切点; (2)两圆相交时,连心线垂直平分公共弦(两圆相交时,连接两交点的线段称为公共弦). 两圆的公共弦: (ⅰ)两圆公共弦所在直线的方程: 两圆相交时,有一条公共弦,如图所示. 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,① 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,② ①-②得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③ 若圆C1与圆C2相交,由于③为直线方程,若P(x0,y0)为圆C1与圆C2的交点,则点P(x0,y0)满足++D1x0+E1y0+F1=0,且++D2x0+E2y0+F2=0,所以(D1-D2)x0+(E1-E2)y0+F1-F2=0, 即点P(x0,y0)适合直线方程,故P(x0,y0)在③所对应的直线上,③表示过两圆C1与C2交点的直线,即公共弦所在直线的方程. (ⅱ)公共弦长的求法: ①代数法:将两圆的方程联立,解得两交点的坐标,利用两点间的距离公式求其长. ②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、弦长的一半、弦心距构成的直角三角形,用勾股定理求出弦长. 圆与圆位置关系的判定 [例1] (1)圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆(x-1)2+(y-4)2=16的位置关系是(　　) A.外切 B.内切 C.相交 D.相离 (2)当实数k为何值时,两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0相交、相切、相离? (1)解析:由题意知,圆x2+y2+4x-4y+7=0的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=1, 所以圆心为(-2,2),半径为1, 圆(x-1)2+(y-4)2=16的圆心为(1,4),半径为4, 所以两圆的圆心距为=, 又两圆半径之和为5,半径之差为3, 所以两圆相交.故选C. (2)解:将两圆的一般方程化为标准方程, C1:(x+2)2+(y-3)2=1, C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k. 圆C1的圆心为C1(-2,3),半径r1=1; 圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=(k<50). 从而|C1C2|==5. 当1+=5,即k=34时,两圆外切. 当|-1|=5,即k=14时,两圆内切. 当|r2-r1|<|C1C2|<r2+r1, 即14<k<34时,两圆相交. 当1+<5或|-1|>5, 即34<k<50或k<14时,两圆相离. (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤: ①化成圆的标准方程,写出圆心和半径; ②计算两圆圆心的距离d; ③通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的取值范围,必要时可借助于图形,数形结合. (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的取值范围是非常简单清晰的,要理清圆心距与两圆半径的关系. [针对训练] (1)圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为(　　) A.0 B.3 C.2 D.1 (2)已知圆C1:+(y-1)2=a,圆C2 :x2+y2-4x-4y+7=0,则“ a=1 ”是“两圆内切”的(　　) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:(1)因为圆B:(x-2)2+y2=9,其圆心为 B(2,0),半径为3.圆A的圆心为A(0,0),半径为1,所以圆心距为|AB|=2,半径之差为3-1=2,所以两圆内切,只有一个公共点.故选D. (2)圆 C1:+(y-1)2=a的圆心C1(,1),半径r1=, C2:+(y-2)2=9的圆心C2(2,2),半径r2=3, 两圆心之间的距离为 |C1C2|==2, 两圆的半径之差为|r1-r2|=|-3|, 当两圆内切时,|-3|=2,解得a=1或a=25. 所以当a=1时,可得两圆内切