2.3.3 直线与圆的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.3.3　直线与圆的位置关系 学习目标 1.理解直线与圆的三种位置关系. 2.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系. 3.能解决直线与圆位置关系的综合问题. 　　“大漠孤烟直,长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句,它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,观察下面三幅太阳落山的图片. 探究:图片中,地平线与太阳的位置关系怎样? 答案:依次是相离、相切、相交 　直线与圆的位置关系的判断 (1)几何法:如果☉C的半径为r,圆心C到直线l的距离为d,则 直线l与☉C相交⇔d<r; 直线l与☉C相切⇔d=r; 直线l与☉C相离⇔d>r. (2)代数法:由消元得到一元二次方程的判别式Δ. Δ>0⇔直线l与圆C相交; Δ=0⇔直线l与圆C相切; Δ<0⇔直线l与圆C相离. [提醒](1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时,不必求出方程组的实数解,只需将直线方程代入到圆的方程中,并消去一个未知数,得到一个关于x(或y)的一元二次方程,由Δ与0的大小关系判断方程解的个数,进一步判断两者的位置关系. (2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时,必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离. (3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系,应由条件而定,代数法是从方程角度考虑,但较烦琐;几何法是从几何角度考虑,方法简单,也是判断直线与圆的位置关系的常用方法. (1)自一点引圆的切线的条数 ①若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线; ②若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点; ③若点在圆内,则过此点不能作圆的切线. (2)切线方程的几个重要结论 ①经过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2. ②经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ③经过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y+D·+E·+F=0. ④已知圆x2+y2=r2的切线的斜率为k,则圆的切线方程为y=kx±r. (3)直线与圆相交时弦长的求法: ①已知圆C:(x-x1)2+(y-y1)2=r2,直线AB:Ax+By+C′=0(A,B不同时为0),如图,△ABC是等腰三角形,取弦AB的中点D,则 CD⊥AB,且CD平分弦AB,因此弦长|AB|=2,其中d表示弦心距,d=; ②从方程的角度用两点间的距离公式去计算. 当直线AB的斜率存在时,这时结合根与系数的关系,进行整体代换即可求得,即将直线AB:y=kx+m代入(x-x1)2+(y-y1)2=r2,消去y得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,设直线与圆的交点A(x2,y2),B(x3,y3),则x2,x3是上述方程的两个根,由根与系数的关系,得 x2+x3=-,x2·x3=, 则|AB|= = =|x2-x3| =. 当直线AB的斜率不存在时,将直线AB:x=n代入(x-x1)2+(y-y1)2=r2,解得A,B的纵坐标yA,yB,则|AB|=|yA-yB|. 直线与圆的位置关系判断 [例1] 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当实数m为何值时,直线与圆: (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点. 解:法一　将直线方程mx-y-m-1=0代入圆的方程, 化简、整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,所以Δ=[-2(m2+2m+2)]2-4(1+m2)(m2+4m+4)=4m(3m+4). (1)因为Δ=4m(3m+4), 所以当Δ>0, 即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ<0,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 法二　已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2. 圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离为 d==. (1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当d>2,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 直线与圆的位置关系的判断方法: (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. [针对训练] (1)直线l:x-y-4=0与圆C:x2+y2=8的位置关系为(　　) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确