2.3.2 圆的一般方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.3.2　圆的一般方程 学习目标 1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程解决简单问题. 3.灵活选取恰当的方法求圆的方程. 1.圆的一般方程 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 在这个方程中,如果令D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,则这个方程可以表示成 x2+y2+Dx+Ey+F=0　① 的形式,其中D,E,F都是常数,形如①式的圆的方程称为圆的一般方程. 2.圆的一般方程与圆的标准方程的关系 对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的说明: 把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(x+)2+(y+)2=.② (1)当D2+E2-4F>0时,方程②表示以(-,-)为圆心,为半径的圆. (2)当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-). (3)当D2+E2-4F<0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. [思考1] 圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同? 提示:圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显.圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征明显. [思考2] 所有二元二次方程均表示圆吗? 提示:不是,Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,只有在A=C≠0,B=0且D2+E2-4AF>0时才表示圆. 圆的一般方程的概念 [例1] (1)若方程x2+y2+mx+2y+5=0表示一个圆,则实数m的取值范围是(　　) A.(-4,4) B.(-3,3) C.(-∞,-4)∪(4,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) (2)若圆C:x2+y2-2(m-2)x+2(m-2)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(　　) A.2或1 B.-2或-1 C.1 D.-2 解析:(1)因为方程x2+y2+mx+2y+5=0, 即(x+)2+(y+1)2=-4,表示一个圆, 所以-4>0,所以m<-4或m>4.故选C. (2)因为圆C:x2+y2-2(m-2)x+2(m-2)y+2m2-6m+4=0过坐标原点, 所以2m2-6m+4=0,解得m=1或m=2, 当m=2时,x2+y2=0,不符合题意,舍去, 当m=1时,x2+y2+2x-2y=0, 即(x+1)2+(y-1)2=2,满足题意, 综上所述,实数m的值为1.故选C. 判定形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程是否表示圆时,有如下两种方法: (1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0,成立则表示圆,否则不表示圆. (2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要先化为这种形式再求解. [针对训练] (1)若方程x2+y2+4x-6y+1-2m=0表示圆,则实数m的取值范围为(　　) A.(-6,+∞) B.(6,+∞) C.(-7,+∞) D.(7,+∞) (2)下列方程各表示什么图形?若表示圆,求其圆心和半径. ①x2+y2+x+1=0; ②x2+y2+2ax+a2=0(a≠0); ③2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0). (1)解析:若方程表示圆,则42+(-6)2-4(1-2m)>0,即16+36-4+8m>0,得m>-6.故选A. (2)解:①因为D=1,E=0,F=1, 所以D2+E2-4F=1-4=-3<0, 所以方程不表示任何图形. ②因为D=2a,E=0,F=a2, 所以D2+E2-4F=4a2-4a2=0, 所以方程表示点(-a,0)(a≠0). ③两边同除以2,得 x2+y2+ax-ay=0, D=a,E=-a,F=0, 因为a≠0,所以D2+E2-4F=2a2>0, 所以方程表示圆,它的圆心为(-,), 半径r==|a|. 求圆的一般方程 [例2] 已知二次函数y=x2-4x+3交x轴于A,B两点,交y轴于C点.若圆M过A,B,C三点,则圆M的方程是(　　) A.x2+y2-2x-2y-3=0 B.x2+y2+2x-2y-3=0 C.x2+y2-4x-4y+3=0 D.x2+y2-4x-12y+3=0 解析:令y=x2-4x+3=0,解得x=1或x=3, 所以A(1,0),B(3,0), 又令x=0,解得y=3,所以C(0,3), 因为圆M过A,B,C三点, 所以AB的垂直平分线必过圆心, 设圆M的圆心为M(2,m), 则|MC|=|MA|, 所以=, 解得m=2, 则圆心M(2,2),半径r==, 所以圆M的方程为(x-2)2+(y-2)2=5,即x2+y2-4x-4y+3=0.故选C. 应用待定系数法求圆的方程