2.3.1 圆的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.3　圆及其方程 2.3.1　圆的标准方程 学习目标 1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征. 2.能根据所给条件求圆的标准方程. 3.掌握点与圆的位置关系. 4.圆的标准方程的求解. 1.圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆,其中定点是圆心,定长是圆的半径. [思考] 确定一个圆需要几个几何要素? 提示:2个.圆心——确定圆的位置(定位);半径——确定圆的大小(定形). 2.圆的标准方程 (1)以C(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2. 3.点与圆的位置关系 ☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),则点M1(x1,y1)在☉C外的充要条件是(x1-a)2+(y1-b)2>r2,点M2(x2,y2)在☉C内的充要条件是(x2-a)2+(y2-b)2<r2. 直接法求圆的标准方程 [例1] 圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是(　　) A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=3 C.(x+1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y+2)2=9 解析:因为圆心为(1,-2),半径为3,所以圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=9.故选D. (1)用直接法求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程. (2)确定圆心和半径时常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等. [针对训练] (1)以A(-2,1),B(1,5)为半径两端点的圆的方程是(　　) A.(x+2)2+(y-1)2=25 B.(x-1)2+(y-5)2=25 C.(x+2)2+(y-1)2=25或(x-1)2+(y-5)2=25 D.(x+2)2+(y-1)2=5或(x-1)2+(y-5)2=5 (2)经过点(1,0)且圆心是两直线x=1与x+y=2的交点的圆的方程为(　　) A.(x-1)2+y2=1 B.(x-1)2+(y-1)2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y-1)2=2 解析:(1)半径r==5, 若A(-2,1)为圆心,则所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=25; 若B(1,5)为圆心,则所求圆的方程是(x-1)2+(y-5)2=25. 故选C. (2)因为圆心是两直线x=1与x+y=2的交点, 所以解得圆心坐标为(1,1). 又因为该圆经过点(1,0), 所以半径为1, 故圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1.故选B. 待定系数法求圆的标准方程 [例2] 求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上的圆的标准方程. 解:法一(待定系数法) 设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 则有 解得a=7,b=-3,r=. 故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65. 法二(直接法) 由题意,得AB的中垂线方程为3x+2y-15=0. 由解得 则圆心C为(7,-3),圆C的半径r=|CB|==. 故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65. (1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤: 设方程((x-a)2+(y-b)2=r2)→列方程组(由已知条件,建立关于a,b,r的方程组)→解方程组(解方程组,求出a,b,r)→得方程(将a,b,r代入所设方程,得所求圆的标准方程). (2)充分利用圆的几何性质,可使问题计算简单. [针对训练] (1)已知圆C过点A(1,4),B(3,2),且圆心C在直线 y=0上,则圆C的标准方程是(　　) A.(x+1)2+y2=20 B.(x-1)2+y2=20 C.x2+(y+1)2=20 D.x2+(y-1)2=20 (2)过点A(-6,2),B(2,-2)且圆心在直线x-y+1=0上的圆的方程是(　　) A.(x-3)2+(y-2)2=25 B.(x+3)2+(y+2)2=5 C.(x-3)2+(y-2)2=5 D.(x+3)2+(y+2)2=25 解析:(1)因为圆心在直线y=0上, 所以设圆心坐标为C(a,0), 则|AC|=|BC|, 即=, 即(a-1)2+16=(a-3)2+4, 解得a=-1,即圆心为(-1,0), 半径r=|AC|==2, 则圆的标准方程为(x+1)2+y2=20.故选A. (2)因为圆心在直线x-y+1=0上, 所以可设圆心为C(a,a+1), 所以|AC|=|BC|, 即 =, 解得a=-3,所以圆心为(-3,-2), 半径r=|AC|=|BC|=5, 所以圆