2.2.4 点到直线的距离-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.2.4　点到直线的距离 学习目标 1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题. 2.会求两条平行直线之间的距离. 3.理解点到直线的距离公式的推导. 　　如图,在铁路MN附近P地有一大型仓库,现要修建一条公路与之连接起来.那么如何设计才能使公路最短?最短是多少?现在就让我们通过本节课的学习,来解决这个问题. 探究:你能用已学过的知识求出P(-1,2)到直线l1:2x+y-5=0的距离吗? 答案:能,先求垂足的坐标,再利用两点之间的距离公式计算. 1.点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d: (1)d=. (2)v=(A,B)是直线l的一个法向量,P1(x1,y1)是直线l上任意一点: d=. [提醒](1)应用点到直线的距离公式时,直线方程应为一般式,若给出其他形式,则先化成一般式方程再用公式求解.例如求点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离,应先把直线方程化为kx-y+b=0,再利用公式,得d=. (2)当点P在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用,故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系. (3)当直线方程Ax+By+C=0中A=0或B=0时,公式也成立,还可以用下列方法求点到直线的距离: ①P(x0,y0)到x=a的距离d=|a-x0|; ②P(x0,y0)到y=b的距离d=|b-y0|. 2.两条平行线间的距离 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d: d=(A,B不全为0,C1≠C2). [提醒](1)使用两条平行直线间的距离公式时,直线的方程必须是一般式,而且方程中x,y的系数分别对应相等,对于系数不同的方程,应先将系数化为相等后再求距离. (2)两条平行直线间的距离,也可以转化为一条直线上的一个点到另一条直线的距离,即转化为点到直线的距离. (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时,可利用数形结合来解决. ①两条直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2,则d=|x2-x1|; ②两条直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则d=|y2-y1|. 点到直线的距离 [例1] (1)点A(1,2)到直线l:3x-4y-1=0的距离为(　　) A. B. C.4 D.6 (2)已知点A(a,2)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(　　) A.-1 B.+1 C.±1 D.±-1 解析:(1)点A(1,2)到直线l:3x-4y-1=0的距离为=.故选B. (2)因为点A(a,2)到直线l:x-y+3=0的距离为1, 故可得1=,整理得|a+1|=,解得a=±-1. 故选D. 点到直线的距离的求解方法: (1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式方程,直接应用点到直线的距离公式求解即可. (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点到它们的距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0-b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可. [针对训练] 求点P(3,-2)到下列直线的距离: (1)y=x+;(2)y=6;(3)x=4. 解:(1)直线y=x+化为一般式为3x-4y+1=0,由点到直线的距离公式可得 d==. (2)因为直线y=6与y轴垂直,所以点P到它的距离d=|-2-6|=8. (3)因为直线x=4与x轴垂直,所以点P到它的距离d=|3-4|=1. 两条平行线间的距离 [例2] (1)直线y=x与直线y=x+1间的距离等于(　　) A. B. C.1 D. (2)已知直线l1:x+ay+5=0,l2:ax+y+7=0,若l1∥l2,则l1与l2间的距离为(　　) A. B.6 C.2或12 D.或6 解析:(1)直线y=x即为x-y=0,直线y=x+1即为x-y+1=0,因为两直线平行, 所以距离d==.故选B. (2)由l1∥l2,可得a2=1,解得a=±1.当a=1时,l1:x+y+5=0,l2:x+y+7=0,所以l1与l2间的距离d1==;当a=-1时,l1:x-y+5=0,l2:x-y-7=0,所以l1与l2间的距离d2==6,所以l1与l2间的距离为或6.故选D. 求两条平行线间的距离一般有两种方法: (1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算. (2)公式法:直接用公式d=,但要注意两直线方程中x,y的系数必须分别对应相等. [针对训练] (1)(多选题)已知直线m:2x+y-1=0与直线n平行,且两条直线之间的距离为 ,则直线