2.2.3 两条直线的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.2.3　两条直线的位置关系 学习目标 1.掌握两条直线相交的判定方法,会求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法,注意利用直线方程的系数和斜率判定直线平行与垂直的差别. 3.灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系. 1.利用直线的斜截式方程判断直线的位置关系 若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则: l1与l2相交⇔k1≠k2; l1与l2平行⇔k1=k2且b1≠b2; l1与l2重合⇔k1=k2且b1=b2. 2.利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,v1=(A1,B1),v2=(A2,B2)分别是直线l1,l2的法向量. (1)l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是 v1与 v2不共线,即A1B2≠A2B1; (2)l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线,即A1B2=A2B1; (3)直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是C1≠C2,重合的充要条件是C1=C2. 3.两直线垂直的判断 (1)若直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2, l1⊥l2⇔k1k2=-1. (2)设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. [提醒] 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量,v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量,l1与l2垂直的充要条件是v1与v2垂直,即v1·v2=0,因此A1A2+B1B2=0.即l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 4.两相交直线的交点坐标 将两相交直线的方程联立,得方程组,方程组的解即为两直线交点的坐标. (1)平行直线系方程: ①斜率为k的直线系方程为y=kx+b(k为常数,b为参数); ②与定直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ为参数,λ≠C); ③过点P(x0,y0),且平行于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0(Ax0+By0+C≠0). (2)垂直直线系方程: ①与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线系方程为y=-x+m(m为参数); ②与定直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0(λ为参数); ③过点P(x0,y0),且垂直于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直线方程为B(x-x0)-A(y-y0)=0. (3)过两条直线交点(定点)的直线系方程: 设两条不平行的直线的方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),我们将m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m,n为参数,且m2+n2≠0)称为经过直线l1与l2交点(定点)的直线系方程.当m=1,n=0时,此方程即直线l1的方程;当m=0,n=1时,此方程即直线l2的方程.过两条直线交点(定点)的直线系方程又可以表示为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),此时该直线系不含直线l2. (4)关于直线的对称问题: 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),则: ①l关于x轴对称的直线方程是Ax+B(-y)+C=0; ②l关于y轴对称的直线方程是A(-x)+By+C=0; ③l关于原点对称的直线方程是A(-x)+B(-y)+C=0; ④l关于直线y=x对称的直线方程是Bx+Ay+C=0; ⑤l关于直线y=-x对称的直线方程是A(-y)+B(-x)+C=0; ⑥l关于点P(x0,y0)对称的直线方程是A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0. 两条直线相交、平行、重合的判定 [例1] 已知两直线l1:x+my+6=0;l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合. 解:因为直线l1:x+my+6=0, 直线l2:(m-2)x+3y+2m=0, 所以A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m. (1)若l1与l2相交,则A1B2-A2B1≠0, 即1×3-m(m-2)≠0, 即m2-2m-3≠0,即(m-3)(m+1)≠0, 即m≠3,且m≠-1. 故当m≠3,且m≠-1时,直线l1与l2相交. (2)若l1∥l2,则有 即 即即 所以m=-1. 故当m=-1时,直线l1与l2平行. (3)若l1与l2重合, 则有即 所以所以m=3. 故当m=3时,直线l1与l2重合. (1)判断两条直线