2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 学习目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.理解直线斜率的几何意义,掌握倾斜角与斜率的对应关系. 3.掌握过两点的直线的斜率公式. 4.掌握直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用. 　　我们知道,经过两点有且只有一条直线,那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?如图所示,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…我们可以看出这些直线都过点P,但它们的“倾斜程度”不同,怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢? 1.直线的倾斜角 (1)定义:一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为0°. [做一做1] 如图所示,直线l的倾斜角为(　C　) A.30° B.60° C.120° D.以上都不对 解析:根据倾斜角的定义知,直线l的倾斜角为 30°+90°=120°. (2)性质:一般地,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,直线l的倾斜角为θ,则: ①当y1=y2时(此时必有x1≠x2),θ=0°; ②当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ=90°; ③当x1≠x2且y1≠y2时,tan θ=. [思考1] 当x1≠x2且y1=y2时,③式中的式子成立吗? 提示:成立. 2.直线的斜率 (1)定义:如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k=tan θ为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线 l的斜率不存在.  (2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的斜率为k=;当x1=x2时,直线l的斜率不存在. [思考2] 运用(2)中公式计算直线AB的斜率时,需要考虑A,B的顺序吗? 提示:kAB==kBA=,所以直线AB的斜率与A,B两点的顺序无关. 3.直线的方向向量 (1)定义:一般地,如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量,记作a∥l. (2)直线l的方向向量的性质. ①如果a为直线l的一个方向向量,那么对于任意的实数λ≠0,向量λa都是l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定共线. ②如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则=(x2-x1,y2-y1)是直线l的一个方向向量. (3)直线的方向向量与直线的斜率的关系. 一般地,如果已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则: ①当u=0时,显然直线l的斜率不存在,倾斜角为90°; ②当u≠0时,直线l的斜率是存在的,而且此时(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知1·v=k·u,从而k=,因此可知倾斜角满足tan θ=. [做一做2] 直线l经过点A(2,1)和B(-5,-2),则直线l的一个方向向量为　　　　.  解析:=(-5-2,-2-1)=(-7,-3),即直线l的一个方向向量为(-7,-3). 答案:(-7,-3) 4.直线的法向量 (1)定义:一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量,记作v⊥l. (2)直线的方向向量与法向量互相垂直. [做一做3] 若直线的法向量a=(-4,2),则直线的方向向量不可能是(　A　) A.(-2,4) B.(1,2) C.(3,6) D.(-1,-2) 解析:因为-4×(-2)+2×4=16≠0,所以(-2,4)不可能是直线的方向向量;易知B,C,D都可以是直线的方向向量. 斜率与倾斜角的对应关系: 图示 倾斜角 (范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率 (范围) 0 (0,+∞) 不存在 (-∞,0) 结论:直线的斜率与倾斜角不是一一对应,当倾斜角为90°时,直线的斜率不存在. 直线的倾斜角和斜率 [例1] (1)若直线经过O(0,0),A(1,)两点,则直线OA的倾斜角为(　　) A. B. C. D. (2)已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB=4,则点B的坐标为(　　) A.(2,0)或(0,-4) B.(2,0)或(0,-8) C.(2,0) D.(0,-8) 解析:(1)设直线OA的倾斜角为α,α∈[0,π),则tan α==,所以α=.故选B. (2)设B(x,0)或(0,y),因为kAB=(x≠3)或kAB=,所以=4或=4,所以x=2,y=-8,所以点B的坐标为(2,0)或(0,-8).故选B. (1)求直线的倾斜角的方法及两点注意: ①方法: