1.2.5 空间中的距离-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

1.2.5　空间中的距离 学习目标 　能用向量方法解决点到直线,点到平面,相互平行的直线,相互平行的平面的距离问题. 1.空间中两点之间的距离 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)是空间中任意两点, 则 AB=||=. [做一做1] 设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|等于(　C　) A. B. C. D. 解析:因为点M坐标为(2,,3), 所以|CM|==. 2.点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A,因为l与A能确定一个平面,所以过A可以作直线l的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到直线l的距离.点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度. [思考] 如何用向量法求点到直线的距离? 提示:如图,设l是过点P平行于向量s的直线,A是直线l外一定点. 过A作AA′⊥l,垂足为A′,则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度,而向量在s上的投影的大小 |·s0|等于线段PA′的长度,所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d=.其中s0是s同方向的单位向量.点A到直线l的距离公式也可以写成d=. [做一做2] 已知直线l过定点A(2,3,1),且方向向量为s=(0,1,1),则点P(4,3,2)到l的距离d为(　A　) A. B. C. D. 解析:=(2,0,1), 由点到直线的距离公式得d===. 3.点到平面的距离 给定空间中一个平面α及α外一点A,过A可以作平面α的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到平面α的距离.点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度. 一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离d=. [提醒] 若点A是平面α内一点,则约定A到平面α的距离为0. [做一做3] 已知平面α的一个法向量n=(1,0,1),点A(-1,1,0)在α内,则平面外点P(-1,1,1)到平面α的距离为　　　　.  解析:=(0,0,1),n=(1,0,1),d===,即点P到平面α的距离为. 答案: 4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)定义: ①当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离. ②当平面与平面平行时,一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离. 一般地,与两个平行平面同时垂直的直线,称为这两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的公垂线段.显然,两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长. (2)①相互平行的直线l与平面α之间的距离: 一般地,若A,B分别是l上和α内的点,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α之间的距离为 d=. ②相互平行的平面α与β之间的距离: 一般地,若A,B分别是平面α,β内的点,n是平面β的一个法向量(也是平面α的一个法向量),则平面α与平面β之间的距离为d=. (1)特殊的距离: x=a(a≠0),表示平行于yOz面的平面,且与yOz面的距离为|a|;y=b (b≠0),表示平行于xOz面的平面,且与xOz面的距离为|b|;z=c (c≠0),表示平行于xOy面的平面,且与xOy面的距离为|c|. (2)已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离为 ||=|||cos<,n>|. 空间中两点之间的距离 [例1] 已知正方体的每条棱都平行于坐标轴,两个顶点为A(-6,-6,-6), B(8,8,8),且两点不在正方体的同一个面上,正方体的体对角线长为(　　) A.14 B.3 C.5 D.42 解析:由题意知,正方体的体对角线即为AB, 所以AB==14.故选A. 计算空间两点间距离的两种方法: (1)利用|a|2=a·a,通过向量运算求|a|,如求A,B两点间的距离,一般用||==求解. (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离),此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时. [针对训练] 已知A(-3,-3,-3),B(1,1,1),则线段AB的中点坐标为 　　　　;||=　　　　.  解析:因为A(-3,-3,-3),B(1,1,1), 所以线段AB的中点坐标为(,,)=(-1,-1,-1). =(4,4,4),所以||==4. 答案:(-1,-1,-1)　4 点与直线的距离 [例2] 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,则点B到直线A1C1的距离为　　　　.  解析:以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A1(4,0,1),C1(0,3,1),B(0,0,0), 所以=(-4,3,0). 设E满足=λ,且BE⊥A1C1, 则=+=(4,0