1.2.4 二面角-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

1.2.4　二面角 学习目标 1.能用向量语言表述平面与平面的夹角. 2.能用向量方法解决简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 1.二面角及其度量 定义:平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面. 在二面角αlβ的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角. 二面角及其平面角的大小的范围为[0,π]. 2.用空间向量求二面角的大小 如果n1,n2分别是平面α1α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>, 特别地,sin θ=sin<n1,n2>. (1)二面角的平面角:若有①O∈l,②OA⊂α,OB⊂β,③OA⊥l,OB⊥l,则二面角αlβ的平面角是∠AOB. (2)空间向量法求二面角的大小: ①如图a,AB,CD分别是二面角αlβ的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<,>. ②如图b,c,n1,n2分别是二面角αlβ的两个半平面α,β的一个法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=|cos<n1,n2>|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角). 向量法求二面角的大小 [例1] 在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求平面EAC与平面ABCD的夹角. 解:法一　如图,以A为坐标原点,分别以AC,AB,AP所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设PA=AB=a,AC=b,连接BD与AC交于点O,取AD的中点F,连接OF,EF,OE, 则C(b,0,0),B(0,a,0),P(0,0,a),A(0,0,0), 因为=, 所以D(b,-a,0), 所以E(,-,),O(,0,0), =(0,-,),=(b,0,0). 因为·=0, 所以⊥, 又==(0,-,0),·=0. 所以⊥. 所以∠EOF(或其补角)等于平面EAC与平面ABCD的夹角. cos<,>==. 所以平面EAC与平面ABCD的夹角为45°. 法二　建系如法一, 因为PA⊥平面ABCD, 所以=(0,0,a)为平面ABCD的一个法向量, =(,-,),=(b,0,0). 设平面EAC的法向量为m=(x,y,z). 由得 所以x=0,y=z, 所以取m=(0,1,1), cos<m,>===. 所以平面EAC与平面ABCD的夹角为45°. (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时,用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单的运算即可求出,有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补),但我们可以根据图形观察得到结论,因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的. (2)注意法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角. [针对训练] 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BC的中点,求二面角DAEB1的余弦值. 解:以B为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示, 因为正方体的棱长为1,E为BC的中点, 则A(1,0,0),E(0,,0),B1(0,0,1), 所以=(1,-,0),=(-1,0,1), 设平面AEB1的法向量为n=(x,y,z), 则 令y=2,则x=z=1, 故n=(1,2,1), 又平面AED的一个法向量为m=(0,0,1), 所以|cos<n,m>|===, 由图可知,二面角DAEB1为钝二面角, 故二面角DAEB1的余弦值为-. 几何法求二面角大小 [例2] 如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若△PAB是边长为2的正三角形,且CO⊥AB,求二面角PACB的正弦值. 解:如图,取AC的中点D,连接OD,PD, 因为PO⊥底面,所以PO⊥AC, 因为OA=OC,D为AC的中点, 所以OD⊥AC, 又PO∩OD=O, 所以AC⊥平面POD, 则AC⊥PD, 所以∠PDO为二面角PACB的平面角. 因为△PAB是边长为2的正三角形,CO⊥AB, 所以PO=,OA=OC=1,OD=, 则PD===. 所以sin∠PDO===, 所以二面角PACB的正弦值为. 找二面角的平面角的几何方法有以下三种:(1)定义法.(2)作棱的垂面.(3)过一个平面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线(三垂线定理法). [