1.2.3 直线与平面的夹角-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

1.2.3　直线与平面的夹角 学习目标 1.能用向量语言表述直线与平面的夹角. 2.能用向量方法解决简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 1.直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直,则称这条直线与这个平面所成的角为90°. (2)如果一条直线与一个平面平行,或直线在平面内,则称这条直线与这个平面所成的角为0°. (3)平面的斜线与它在平面内的射影所成的角,称为这条斜线与平面所成的角. ①如图所示,设AO是平面α的一条斜线段,O为斜足,A′为A在平面α内的射影,而OM是平面α内的一条射线,A′M⊥OM.记∠AOA′=θ1,∠A′OM=θ2,∠AOM=θ,则 cos θ=cos θ1cos θ2. ②平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. ③空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的,直线与平面所成的角也称为它们的夹角. [思考1] 一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线?它是唯一的吗? 提示:斜线在平面内的射影是一条直线,是唯一的. 2.用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,则θ=-<v,n>或θ=<v,n>-, 特别地,cos θ=sin<v,n>,sin θ=|cos<v,n>|. [思考2] 直线l的方向向量v与平面α的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗? 提示:不是,直线和平面的夹角为|-<v,n>|. (1)∠BAC在平面α内,过该角的顶点A引平面α的斜线AP,PM⊥α于点M,则∠PAB=∠PAC⇔∠MAB=∠MAC. (2)P是平面α外一点,PP′⊥α于点P′,过P作平面α的斜线段PA1, PA2,且A1,A2为斜足,斜线段PA1,PA2在平面α内的射影为 P′A1,P′A2. PA1,PA2与平面α所成的角分别为θ1,θ2,则 PA1=PA2⇔P′A1=P′A2⇔θ1=θ2, PA1>PA2⇔P′A1>P′A2⇔θ1<θ2. 利用定义求直线与平面的夹角 [例1] 如图所示,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,∠ABC= 60°,∠BCA=90°. (1)求证:BC⊥平面PAC; (2)若D为PB的中点,试求AD与平面PAC夹角的正弦值. (1)证明:因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC. 又∠BCA=90°, 所以AC⊥BC,又AC⊂平面PAC, PA⊂平面PAC,PA∩AC=A, 所以BC⊥平面PAC. (2)解:取PC的中点E,连接DE,AE. 因为D为PB的中点, 所以DE∥BC,所以DE⊥平面PAC. 则AE是AD在平面PAC内的射影, 所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角. 设PA=AB=a,在直角三角形ABC中, 因为∠ABC=60°,∠BCA=90°, 所以BC=,DE=, 在直角三角形ABP中,AD=a, 所以sin∠DAE===. 即AD与平面PAC夹角的正弦值为. 定义法求直线和平面所成角的步骤: (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线. (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角即为所求的角. (3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. [针对训练] 如图,正四棱锥PABCD底面边长为,高为1,E为PC的中点,求直线BE与平面PAC所成的角. 解:如图,连接BD,交AC于点O,连接PO,则PO为正四棱锥PABCD的高,所以PO=1,因为 PO⊥底面ABCD,所以 PO⊥BD,又BD⊥AC,PO∩AC=O,所以BD⊥平面PAC,连接EO,则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角,在Rt△POA中,因为PO=1,OA=,所以 PA=2,OE=PA=1, 在Rt△BOE中,因为BO=, 所以tan∠BEO==,即∠BEO=60°. 所以直线BE与平面PAC所成的角为60°. 利用cos θ=cos θ1cos θ2求直线与平面的夹角 [例2] 如图,∠BOC在平面α内,OA是α的斜线,若∠AOB=∠AOC= 60°,OA=OB=OC=a,BC=a,求OA与平面α所成的角. 解:因为∠AOB=∠AOC=60°,所以直线OA在平面α内的射影为∠BOC的平分线,作∠BOC的平分线OH交BC于点H,连接AH. 因为OB=OC=a,BC=a, 所以∠BOC=90°,故∠BOH=45°, 由公式cos θ=cos θ1·cos θ2, 得cos∠AOH==. 所以直线OA与平面α所成的角为45°. cos θ=cos θ1·cos θ2的应用: (1)利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2求直线与平面的夹角,应明确图形中θ,θ1,θ2