1.2.2 空间中的平面与空间向量-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

1.2.2　空间中的平面与空间向量 学习目标 1.能用向量语言表述平面,理解平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系. 3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题. 　　牌楼,与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种,多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构,一般较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线l与柱子所在的直线l1垂直,我们就能知道下边线l与地面α平行. 探究:能否用空间向量表示这一线面位置关系? 答案:能. 1.平面的法向量 (1)定义:如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时也称n与平面α垂直,记作n⊥α. [思考1] 平面α的法向量有多少个?它们之间有什么关系? 提示:无数个,彼此平行. [思考2] 一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系? 提示:垂直. (2)性质. ①如果直线l垂直平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量. ②如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量 λn也是平面α的一个法向量,而且平面α的任意两个法向量都平行. ③如果n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则对于平面α上任意一点B,向量一定与向量n垂直,即·n=0,从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. (3)应用. ①如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量.如图(a)(b)所示. 当n∥v时,l与α垂直;当n⊥v时,l与α平行,或者l在α内. ②如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,如图(c)(d)所示. 当n1⊥n2时,α1与α2垂直; 当n1∥n2时,α1与α2平行. ③如果A,B,C是平面α内不共线的三点,非零空间向量n满足n⊥, n⊥,则n是平面α的一个法向量,从而有·n=0,·n=0. 2.三垂线定理及其逆定理 (1)已知空间中的平面α以及点A,过A作α的垂线l,设l与α相交于点A′,则A′就是点A在平面α内的射影(也称为投影). 空间中,图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F′,称为图形F在平面α内的射影. (2)三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它和这条斜线垂直. (3)三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它和这条斜线在该平面内的射影垂直. [提醒] 定理中的已知直线必须是已知平面内的直线. 设直线l的方向向量为a,平面α,β的法向量分别为μ,v. 线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0 面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ=kv(k∈R) 线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ(k∈R) 面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0 求平面的法向量 [例1]在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的一个法向量; (2)求平面MCA1的一个法向量. 解:(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1,所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量. (2)因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点,所以M,C,A1的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2),所以=(-3,2,0),=(0,-2,2). 设n2=(x,y,z)是平面MCA1的法向量, 则n2⊥,n2⊥, 所以 所以 取z=3,则x=2,y=3,于是n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量. 平面的法向量的求解方法: (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向 量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法 向量. [针对训练] 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求证:是平面ACD1的一个法向量. 证明:设正方体的棱长为1,分别以,,为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系, 则=(1,1,1), =(-1,1,0), =(-1,0,1), 于是有·=0, 所以⊥, 即DB1⊥AC, 同理DB1⊥AD1, 又AC∩AD1=A, 所以DB1⊥平面ACD1, 从而是平面ACD1的一个法向量. 利用空间向量证明空间线面、面面的位置关系 角度一