1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 学习目标 1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示. 1.空间中向量的坐标 (1)单位正交基底:一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底. (2)在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量. [做一做1] 已知{e1,e2,e3}是单位正交基底,则 p=-e1+2e2+3e3的坐标为　　　　.  答案:(-1,2,3) 2.空间向量的运算与坐标的关系 空间中两个向量a,b满足a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). (1)a=b的充要条件是x1=x2,y1=y2,z1=z2. (2)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2). (3)ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2,uz1+vz2),其中u,v是两个实数. (4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2. (5)|a|==. (6)cos<a,b>= =,其中a≠0且b≠0. [思考] 若向量=(x,y,z),则点B的坐标一定是(x,y,z)吗? 提示:不一定,点A与原点重合时是,不重合时不是. [提醒] 空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广(只是在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标),与平面向量的坐标运算相比,空间向量的坐标运算适用范围更广,它可以解决立体几何中的相关问题. [做一做2] 已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于(　D　) A.(16,0,4) B.(8,-16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4) 解析:4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4). [做一做3] 已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且a·b=4,则x=　　　. 解析:由题意得a·b=-3×1+2x-5=4,解得 x=6. 答案:6 3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 空间中两个向量a,b满足a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). (1)a∥b,a≠0⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ (2)当a的每一个坐标分量都不为零时, a∥b⇔==. a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. 4.空间直角坐标系 (1)在空间直角坐标系Oxyz中,x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴;通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面.z轴的正方向一般按照如下的方式确定:在z轴的正半轴看xOy平面,x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合. (2)空间一点M的位置可以用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)称为点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标). (3)在空间直角坐标系中,三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成八个部分.习惯上,每一部分都称为一个卦限,按逆时针方向,在坐标平面xOy的上方,分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限;在xOy的下方,分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限. (4)在空间直角坐标系中,如果指定空间中的单位向量e1,e2,e3的始点都在原点O,且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同,则{e1,e2,e3}是单位正交基底,向量的坐标与点P的坐标相同,即=xe1+ye2+ze3=(x,y,z)⇔P(x,y,z). [提醒] 点的坐标与向量的坐标表示方法不同,如点A(x,y,z),向量a=(x,y,z). [做一做4] (1)在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标是　　　; (2)在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标为　　　　.  答案:(1)(a,0,0)　(2)(a,0,c) 5.空间向量坐标的应用 (1)空间两点间的距离公式. ①在空间中,点A(x,y,z)到坐标原点O的距离 |OA|=. ②在空间中,点A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)的距离|AB|=||= . (2)空间中的中点坐标公式. 在空间直角坐标系中,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点坐标是(,,). 空间直角坐标系中的点P(x,y,z)的对称点的坐标如下表: 对称轴(或对称中心 或对称平面