1.1.1 空间向量及其运算-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 1.空间向量的概念 (1)在空间内,既有大小又有方向的量称为空间向量(简称为向量),向量的大小也称为向量的模(或长度).用有向线段表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.始点为A,终点为B的向量,记为,向量的模用||表示. (2)几类特殊的空间向量. 名称 定义及表示 零向量 始点和终点相同的向量称为零向量,零向量的方向是不确定的,通常用0表示,零向量的模为0.|0|=0 单位向量 模等于1的向量称为单位向量,e是单位向量的充要条件是|e|=1 相反向量 与向量a大小相等、方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a 相等向量 大小相等、方向相同的向量称为相等向量.向量a和b相等,记作a=b 续　表 名称 定义及表示 向量平行 如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行 向量共线 两个向量a和b平行,记作a ∥b,两个向量平行也称为两个向量共线 向量共面 空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在同一平面内,则称这些向量共面;否则,称这些向量不共面 2.空间向量的线性运算 (1)加减运算及运算律. 空间向量加法交换律:a+b=b+a. (2)空间向量数乘运算. 给定一个实数λ与任意一个空间向量a,规定它们的乘积是一个空间向量,记作λa. ①当λ≠0且a≠0时,|λa|=|λ||a|. λa的方向: 当λ>0时,与a的方向相同; 当λ<0时,与a的方向相反. ②当λ=0或a=0时,λa=0. 上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量. (3)空间向量的线性运算满足以下运算律. 对于实数λ与μ,向量a与b: ①λ(μa)=(λμ)a; ②λa+μa=(λ+μ)a; ③λ(a+b)=λa+λb. [做一做1] (多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列各式运算结果为的是(　ABCD　) A.++ B.++ C.++ D.++ 解析:根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质,逐一进行判断.对于A,++=+=;对于B,++=+=;对于C,++=+=+=;对于D,++=+=.A,B,C,D都正确. 3.空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角. ①定义:平面内,给定两个非零向量a,b,任意在平面内选定一点O,作=a,=b,则大小在[0,π]内的∠AOB称为向量a与b的夹角,记作<a,b>. ②当<a,b>=时,a⊥b. 约定零向量与任意向量都垂直. (2)空间向量的数量积的定义. 平面内,两个非零向量a,b的数量积(也称为内积)定义为a·b= |a||b|cos<a,b>. [提醒] 对空间两个向量夹角的理解,应注意以下几点: (1)由概念知两个非零向量才有夹角,零向量与其他向量之间不定义夹角,并约定0与任意向量a都垂直. (2)对空间任意两个非零向量a,b,有: ①<a,b>=<b,a>=<-a,-b>=<-b,-a>; ②<a,-b>=<-a,b>=π-<a,b>; ③<,>=<,>=π-<,>. [思考] 空间向量的数量积的运算符号“·”能省略吗?能写成 “×”吗? 提示:不能. (3)两个向量数量积的几何意义. 过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线,即可得到向量a在向量b上的投影a′,a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积.特别地,a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0. (4)空间向量的数量积的性质. ①a⊥b⇔a·b=0; ②a·a=|a|2=a2; ③|a·b|≤|a||b|; ④(λa)·b=λ(a·b); ⑤a·b=b·a(交换律); ⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). [提醒] (1)两个向量的数量积是一个实数,而不是向量,其符号由夹角θ的余弦值的符号决定.当θ为锐角时,a·b>0,但当a·b>0时,θ不一定是锐角,因为θ也可能为0;当θ为钝角时,a·b<0,但当a·b<0时,θ不一定是钝角,因为θ也可能为π. (2)数量积运算不满足消去律. 若a,b,c(b≠0)为实数,则 ab=bc⇒a=c;但对于向量,就不成立,即a·b=b·ca=c,如图. (3)数量积运算不满足结合律. 数量积运算只满足交换律、加法对乘法的分配律及数乘结合律,但不满足乘法结合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c).这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的