第一章 空间向量与立体几何 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

章末总结 判断对错(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)空间中任意两非零向量a,b共面.(　　) (2)若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0.(　　) (3)设{a,b,c}是空间的一组基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　　) (4)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　) (5)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　　) (6)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(　　) (7)两异面直线夹角的范围是(0,],直线与平面所成角的范围是[0,],二面角的范围是[0,π].(　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×　(7)√ 专题归纳 题型一　异面直线所成的角 [典例1] 如图,已知直线AO垂直于平面α,垂足为O,BC在平面α内,AB与平面α所成角的大小为60°,∠OBC=30°,OC⊥BC,则异面直线AB与OC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析:如图,以O为坐标原点,过点O作OB的垂线为x轴,OB所在直线为y轴,OA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,设OB=2,则OA=2,OC=1, 则A(0,0,2),B(0,2,0),C(,,0),O(0,0,0), =(,,0),=(0,2,-2), 设,的夹角为θ, 则cos θ==, 所以异面直线AB与OC所成角的余弦值为.故选B. 用向量法求异面直线所成角的一般步骤: (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系. (2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出方向向量夹角的余弦值. (4)两异面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦值的绝对值. 题型二　直线与平面的夹角 [典例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别为PA,BC的中点. (1)证明:EF∥平面PCD; (2)若PD⊥平面ABCD,∠ADC=120°,且PD=2AD=4,求直线AF与平面DEF所成角的正弦值. (1)证明:取PD的中点G,连接CG,EG, 因为E,F分别为PA,BC的中点, 所以EG∥AD,EG=AD, 又底面ABCD为菱形, 所以CF∥AD,CF=AD, 所以EG∥CF,EG=CF, 所以四边形EGCF为平行四边形, 所以EF∥CG. 又CG⊂平面PCD,EF⊄平面PCD, 所以EF∥平面PCD. (2)解:连接BD, 因为PD⊥平面ABCD,DF,DA⊂平面ABCD, 所以PD⊥DF,PD⊥DA, 因为四边形ABCD为菱形,∠ADC=120°, 所以△BCD为等边三角形, 因为F为BC的中点,所以DF⊥BC, 因为BC∥DA,所以DF⊥DA, 所以DF,DA,DP两两垂直, 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AD=CD=2, PD=4, 所以D(0,0,0), F(,0,0), A(0,2,0),E(0,1,2),则=(0,1,2),=(,0,0),=(,-2,0). 设平面DEF的法向量为m=(x,y,z),则 令z=1,得m=(0,-2,1). 设直线AF与平面DEF所成的角为θ, 则sin θ=|cos<m,>|===, 所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为. 利用向量法求线面角的两种方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角). (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角(夹角为钝角时取其补角),取其余角就是斜线和平面所成的角. 题型三　二面角 [典例3] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1ACC1⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,D是AB的中点,AA1=A1C,直线A1B与平面A1ACC1所成的角为30°. (1)求证:BC1∥平面A1CD; (2)求平面A1BC与平面A1C1C的夹角的余弦值. (1)证明:连接AC1交A1C于点E,连接DE, 因为四边形ACC1A1是平行四边形, 所以E是AC1的中点, 又因为D是AB的中点,所以DE∥BC1, 因为BC1⊄平面A1CD,DE⊂平面A1CD, 所以BC1∥平面A1CD. (2)解:取AC的中点O,连接OA1,OB, 因为AA1=A1C,所以OA1⊥AC, 因为平面A1ACC1⊥平面ABC,OA1⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC, 所以OA1⊥平面ABC, 因为OB⊂平面ABC,所以OA1⊥OB, 因为△ABC是正三角形,O是AC的中点, 所以OB⊥AC,又AC∩OA1=O, 所以OB⊥平面A1ACC1,所以OA1是直线A1B在平面A1ACC1内的射影, 所以∠OA1B是直线A1B与平面A1