第一章 空间向量与立体几何 末总结 检测试题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

第一章　检测试题 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量a=(1,1,0),则与a同向共线的单位向量e等于(　C　) A.(-,,0) B.(0,1,0) C.(,,0) D.(-1,-1,0) 解析:因为向量a=(1,1,0),所以|a|=,所以与a同向共线的单位向量e=(,,0). 2.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且=x+y+z,=2,=,则x+y+z的值为(　B　) A.- B. C.1 D. 解析:由题可知=+-=+-,=-, 所以=+=+ =(-)+(+-) =+-, 所以x=,y=,z=-,所以x+y+z=. 3.a=(1,-1,2),b=(-2,1,0),c=(5,-3,k),若a,b,c共面,则实数k为(　B　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:a=(1,-1,2),b=(-2,1,0),c=(5,-3,k),a,b,c共面, 设a=mb+nc,m≠0,n≠0, 则(1,-1,2)=(-2m+5n,m-3n,kn), 所以解得n=1,m=2,k=2. 4.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且 BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为(　B　) A.,-,4 B.,-,4 C.,-2,4 D.4,,-15 解析:因为⊥,所以·=3+5-2z=0,即z=4.又BP⊥平面ABC, 所以·=x-1+5y+6=0,① ·=3x-3+y-3z=0,② 由①②可得x=,y=-. 5.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,AB⊥AC1,AC=AA1,BC=AC1=AC,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　C　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:因为AB⊥AC,AB⊥AC1,且AC∩AC1=A,所以AB⊥平面ACC1A1. 因为AA1⊂平面ACC1A1,所以AB⊥AA1. 又因为AC=AA1,且AC1=AC, 所以A+A1=A, 易得AA1⊥AC. 又因为AC∩AB=A,所以AA1⊥平面ABC. 如图所示,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系, 设AC=1,则B(1,0,0),A1(0,0,1),A(0,0,0),C1(0,1,1), 因此=(-1,0,1),=(0,1,1), 故异面直线BA1与AC1所成角θ的余弦值为 cos θ==,即异面直线BA1与AC1所成的角为60°. 6.如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,A1D1的中点,则点B到平面AMN的距离是(　D　) A.1 B. C. D.2 解析:如图,建立空间直角坐标系,则点A(3,0,0),M(3,,3),N(,0,3),B(3,3,0), 所以=(0,3,0),=(0,,3),=(-,0,3). 设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量, 则即 取z=1,则x=2,y=-2, 所以n=(2,-2,1)是平面AMN的一个法向量. 所以点B到平面AMN的距离为d===2. 7.在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB, BC,CP的中点,AB=AC,PA=2AB,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　B　) A. B. C. D. 解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点, 设AB=AC=1,PA=2, 则A(0,0,0),P(0,0,2),D(,0,0),E(,,0),F(0,,1), 所以=(0,0,2),=(0,,0),=(-,,1), 设n=(x,y,z)是平面DEF的法向量, 则即 取x=1,则n=(1,0,), 设直线PA与平面DEF所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|==. 8.如图,三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为4,侧棱AA1⊥底面ABC, P,Q,R分别在棱AA1,AB,B1C1上,AP=AQ=2,B1R=3,过P,Q,R三点的平面将三棱柱分为两部分,下列说法错误的是(　D　) A.截面是五边形 B.截面面积为3 C.截面将三棱柱体积平分 D.截面与底面所成的锐二面角大小为 解析:如图所示,以A为坐标原点,以垂直于AC的直线为x轴,AC所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系, 则 Q(,1,0),P(0,0,2),R(,,4), 设截面与A1C1的交点为M,截面与BC的交点为N,设M(0,m,4)