2.7.2 抛物线的几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

2.7.2　抛物线的几何性质 选题明细表 知识点、方法 题号 抛物线的几何性质及其应用 2,3,4,6,7,9,10 抛物线中的焦点弦问题 1,5,8 综合问题 11,12 基础巩固 1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则 |AB|的值为(　B　) A.10 B.8 C.6 D.4 解析:根据过抛物线焦点的弦长公式有|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 2.已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点, |AB|=2,则弦AB中点G的横坐标是(　C　) A. B. C. D.1 解析:如图,由题意可得抛物线的准线m的方程为x=-,过点G作抛物线准线m的垂线GD⊥m于点D,过A,B分别作AA′⊥m于点A′, BB′⊥m于点B′,则|AA′|+|BB′|=|AB|=2, 因为弦AB的中点为G, 所以|GD|=(|AA′|+|BB′|)=|AB|=1, 所以点G的横坐标是1-=. 3.(多选题)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其上的三个点A,B,C的横坐标之比为3∶4∶5,则以|FA|,|FB|,|FC|为边长的三角形不可能是(　ACD　) A.等腰直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 解析:设A,B,C三点的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1=3k,x2=4k,x3= 5k(k>0),由抛物线定义得|FA|=+3k,|FB|=+4k,|FC|=+5k,易知三者能构成三角形,设|FC|所对角为最大角α, cos α= =>0, 该三角形必是锐角三角形. 4.抛物线有如下光学性质:平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线x2=4y的焦点为F,一条平行于y轴的光线从点M(1,2)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则经点B反射后的反射光线必过点(　D　) A.(-1,2) B.(-2,4) C.(-3,6) D.(-4,8) 解析:把x=1代入x2=4y得y=, 所以A(1,),F(0,1), 所以直线AF的方程为y-1=x, 即y=-x+1, 与抛物线方程联立 解得或(舍去),所以B(-4,4), 因为反射光线平行于y轴,根据选项可得D正确. 5.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点,且与 x轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为　　　　　　　　. 解析:因为抛物线的通径为2p=8,且以x轴为对称轴, 所以其方程为y2=8x或y2=-8x. 答案:y2=8x或y2=-8x 6.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△ABO的面积为　　　　. 解析:易知抛物线中p=,焦点F(,0), 直线AB的斜率k=,故直线AB的方程为y=(x-),代入抛物线方程y2=3x, 整理得x2-x+=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+ x2+p=12,原点O到直线AB的距离d==,所以△OAB的面积S= |AB|·d=. 答案: 7.已知M(x0,y0)是抛物线y2=4x上一点,F是抛物线的焦点,若点P(-1,0)满足·<0,则x0的取值范围是　　　　. 解析:由题可知,抛物线y2=4x的焦点F(1,0),且P(-1,0), 由于M(x0,y0)是抛物线y2=4x上一点, 则=4x0(x0≥0), 所以=(1-x0,-y0),=(-1-x0,-y0), 所以·=(1-x0)(-1-x0)+=+-1=+4x0-1, 因为·<0,所以+4x0-1<0且x0≥0,解得0≤x0<-2, 所以x0的取值范围是[0,-2). 答案:[0,-2) 能力提升 8.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于(　C　) A. B.2 C. D.4 解析:直线4kx-4y-k=0,即y=k(x-)(k≠0), 即直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点(,0). 设A(x1,y2),B(x2,y2), 则|AB|=x1+x2+=4, 即x1+x2=, 则弦AB的中点的横坐标是, 故弦AB的中点到直线x+=0的距离是+=. 9.(多选题)平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C,则(　AB　) A.曲线C的方程为x2=4y B.曲线C关于y轴对称 C.当点P(x,y)在曲线C上时,y≥2 D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离 d≥2 解析:由抛物线的定义,知曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为x