1.2.4 二面角-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

1.2.4　二面角 选题明细表 知识点、方法 题号 二面角的概念 1,3 几何法求二面角 2 向量法求二面角 4,5,6,7 综合问题 8,9,10,11,12,13 基础巩固 1.(多选题)下列说法错误的是(　ABC　) A.两个相交平面所组成的图形称为二面角 B.二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成 的角 C.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系 D.二面角及其平面角的大小的范围为[0,π] 2.二面角αlβ内有一点P,若点P到平面α,β的距离分别是5,8,且点P在平面α,β内的射影间的距离为7,则二面角的度数是(　C　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:如图,PA⊥α,PB⊥β,∠ADB为二面角αlβ的平面角. 由题意知PA=5,PB=8,AB=7, 在△APB中,由余弦定理,可得cos∠APB==, 则∠APB=60°,故∠ADB=120°. 3.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角(　D　) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.大小关系无法确定 解析:如图,平面EFDG⊥平面ABC,当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直,因为二面角HDGF的大小不确定,所以两个二面角的大小关系不确定. 4.(多选题)在三棱锥ABCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若n1=(1,0,0),n2=(-,0,1),则二面角 ABDC的大小可能为(　AD　) A. B. C. D. 解析:由已知可得cos<n1,n2>==-,因此,二面角ABDC的大小为或. 5.已知二面角αlβ为锐角,平面α的一个法向量为n1=(,0,-1),平面β的一个法向量为n2=(-,1,),则cos<n1,n2>=　　　　,二面角 αlβ的大小为　　　　.  解析:cos<n1,n2>====-. 设二面角αlβ为θ(0<θ<),故cos θ=-cos<n1,n2>=,解得θ=,故二面角αlβ的大小为. 答案:-　 6.正三角形ABC与正三角形BCD所在平面垂直,则二面角ABDC的正弦值为　　　　.  解析:取BC的中点O,连接AO,DO,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=1, 则A(0,0,),B(0,-,0),D(,0,0),O(0,0,0), 所以=(0,0,),=(0,,),=(,,0), =(0,0,)为平面BCD的一个法向量. 设平面ABD的法向量为n=(x,y,z), 则 所以 取x=1,则y=-,z=1, 所以n=(1,-,1), 所以cos<n,>==, 因为<n,>∈[0,π], 所以sin<n,>==. 答案: 7.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四面体PABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,则二面角APCB的余弦值为　　　　.  解析:依据题意建立如图所示的空间直角坐标系, A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0), 所以=(1,1,0),=(0,0,1),=(0,1,0),=(1,0,-1). 设平面APC的法向量为n1=(x1,y1,z1), 即 不妨设y1=1,则x1=-1,所以n1=(-1,1,0), 设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,z2), 即不妨设x2=1, 则z2=1,所以n2=(1,0,1), 设二面角APCB的大小为α, 则cos α=|cos<n1,n2>|===. 答案: 能力提升 8.120°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=2,AC=3,BD=4,则CD的长为(　B　) A. B. C. D. 解析:由已知可得,·=0,·=0,<,>=60°, =++, 所以||2=(++)·(++)=||2+||2+||2+ 2·+2·+2·=32+22+42+2×3×4×=41, 所以|CD|=. 9.(多选题)已知E,F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点,则下列说法正确的是(　AD　) A.A1D与B1D1是异面直线 B.A1D与EF所成角的大小为45° C.A1F与平面B1EB所成角的余弦值为 D.二面角CD1B1B的余弦值为 解析:根据异面直线的判定定理“平面内一点与平面外一点的连线,与此平面内不经过该点的直线是异面直线”可知A正确; 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2, 则D(0,0,0),A1(2,0,2),E(1