1.2.3 直线与平面的夹角-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

1.2.3　直线与平面的夹角 选题明细表 知识点、方法 题号 定义法求直线与平面的夹角 5,7 公式cos θ=cos θ1cos θ2的应用 3 利用向量法求直线与平面的夹角 1,2,4,6,8,11,12 综合问题 9,10,13,14,15 基础巩固 1.(多选题)设n为平面α的法向量,a为直线a的方向向量,直线a与平面α所成的角为θ,则下列选项正确的是(　CD　) A.θ+<a,n>=π B.θ+<a,n>= C.若<a,n>∈(0,],则θ=-<a,n> D.若<a,n>∈(,π),则θ=<a,n>- 解析:由直线a与平面α所成的角的定义知,C,D正确. 2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　D　) A. B. C. D. 解析:设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图,则D(0,0,0), B(1,1,0),B1(1,1,1).易知平面ACD1的一个法向量为=(1,1,1).又=(0,0,1),则cos<,>===. 故直线BB1与平面ACD1所成角的余弦值为=. 3.PA,PB,PC是从P点引出的三条射线,每两条射线的夹角为60°,则直线PC与平面APB所成角的余弦值为(　C　) A. B. C. D. 解析:如图, 因为∠CPA=∠CPB, 所以PC在平面APB内的射影PH是∠APB的平分线,∠CPH即为直线PC与平面APB所成的角, 所以cos∠CPH===. 4.已知在直三棱柱BCDB1C1D1中,BC=CD,BC⊥CD,CC1=2BC,则CD与平面BDC1所成角的正弦值为(　A　) A. B. C. D. 解析:以C为坐标原点,分别以CD,CB,CC1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设BC=CD=1,则CC1=2, 则D(1,0,0),B(0,1,0),C1(0,0,2),C(0,0,0), 所以=(0,-1,2),=(-1,0,2), 设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z), 则 取z=1,可得n=(2,2,1).又=(1,0,0), 所以CD与平面BDC1所成角的正弦值为|cos<n,>|===. 5.直线l与平面α所成的角是45°,若直线l在α内的射影与α内的直线m所成的角是45°,则l与m所成的角是(　C　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:如图,在平面α内,l∩α=A,过l上一点B作BC⊥α,垂足为C,则直线AC即为l在α内的射影,∠BAC=45°, 设AC=1,则BC=1,AB=, 过点C作CD⊥m,由题可知∠CAD=45°,则AD=CD=, 在Rt△BCD中,BD==, 因为∠BAD是l与m所成的角, 所以在△BAD中,cos∠BAD==. 所以∠BAD=60°. 6.若直线l的一个方向向量为v=(1,0,3),平面α的一个法向量为n=(-2,0,2),则直线l与平面α所成角的正弦值为　　　　.  解析:设v=(1,0,3)与n=(-2,0,2)的夹角为θ,直线l与平面α所成的角为, 所以sin =|cos θ|=||=||=. 答案: 7.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α成30°角,则斜边上的中线CM与平面α所成的角为　　　　.  解析:作CO⊥α,O为垂足,连接AO,MO, 则∠CAO=30°,∠CMO为CM与α所成的角. 在Rt△AOC中,设CO=1,则AC=2.在等腰直角三角形ABC中,由AC=2得CM=. 在Rt△CMO中,sin∠CMO===.所以∠CMO=45°. 答案:45° 8.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成角的大小是　　 　　,PC与平面PAB所成角的大小是　　　 　.  解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0), =(1,,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1), 所以cos<,n>==-, 又因为<,n>∈[0°,180°], 所以<,n>=120°, 所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°, 所以PC与平面ABCD所成角为30°. 平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0), 所以cos<,m>==, 又因为<,m>∈[0°,180°], 所以<,m>=45°, 所以PC与平面PAB的法向量所在直线所成角为45°, 所以PC与平面PAB所成角为45°. 答案:30°　45° 能力提升 9.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,O是AC的中点,点P在线段A1C1上,若直线OP与平面ACD1所成的角为θ,则cos θ的取值范围是(　D　) A