1.2.3 课时2 用空间向量求直线与平面的夹角 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕用空间向量求直线与平面的夹角展开，从线面角定义出发，通过探究直线方向向量与平面法向量夹角的关系构建知识支架，结合例题演示坐标系建立和向量运算，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过直三棱柱、潍坊风筝模型等实例，引导学生用数学眼光观察空间形式，结合定义推导与向量运算培养数学思维。归纳总结四步解题法，当堂检测巩固知识，学生能提升空间观念和运算能力，教师可高效开展教学。

1.2.3 课时2 用空间向量求直线与平面的夹角 第一章 作者编号：32200 1.理解直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系. 2.会利用空间向量求直线与平面的夹角. 学习目标 线面角的定义：一条直线与它在该平面内射影的夹角叫作该直线与此平面的夹角. 直线与平面夹角的范围： [0，] 向量与向量夹角的范围： [0，π] 知识回顾 … … … 探究“直线AB与平面α的夹角θ”和“该直线的方向向量v与该平面的法向量n的夹角<v，n>”有什么关系？ 特别地，cos θ =sin〈v，n〉，sinθ=|cos〈v，n〉|. 新知探究 … … … 例1 如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=，BC=1，AD=AA1=3. (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值. 新知探究 … … … 新知探究 … … … 归纳总结 利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法： ①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上； ②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影. 例2 中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P－ABCD，其中AC⊥BD于O，OA＝OB＝OD＝4，OC ＝8，PO⊥平面ABCD.试验表明，当PO＝OA时，风筝表现最好，求此时 直线PD与平面PBC所成角的正弦值. 新知探究 … … … 解：如图，以O为坐标原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则B(4，0，0)，C(0，8，0)，D(－4，0，0)，P(0，0，2)， 设m＝(a，b，c)为平面PBC的一个法向量， 令c＝4，则m＝(2，1，4)， 新知探究 … … … 设直线PD与平面PBC所成角为θ， 新知探究 … … … 归纳总结 新知探究 … … … 根据今天所学，回答下列问题： 1.直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角有什么关系? 2.利用向量求直线与平面的夹角的基本步骤是什么？ 课堂总结 … … … 1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为v，直线l与平面α所成的角为θ，则下列关系式一定成立的是(　　)　 A D 当堂检测 … … … 3.若平面α的一个法向量为n＝(－，1,1)，直线l的一个方向向量为a ＝(，1,1)，则l与α所成角的正弦值为_____. 4.已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是( ) A 当堂检测 … … … 则A(0，0，0)，C(，1，0)，B1(，0，3)， D(0，3，0)，C1(，1，3)，D1(0，3，3). ∴=0，∴AC⊥B1D. 易知=(，1，0)，=(-，3，-3)， (1)证明:以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， =(，1，0)，=(0，3，3)， 令x=1，则y=-，z=， ∴平面ACD1的一个法向量为m=(1，-). ∵=(0，1，0)，∴sin θ=， ∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为. (2)解:设平面ACD1的法向量为m=(x，y，z)，设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ， 则 则即 ，， ∴＝(4,0，－2)，＝(0,8，－2)，＝(－4,0，－2)， 则sin θ＝＝＝. ∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值为. 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线PA的方向向量eq \o(PA,\s\up14(→))； (3)求平面的法向量n； (4)设线面角为θ，则sin θ＝eq \f(|\o(PA,\s\up14(→))·n|,|\o(PA,\s\up14(→))|·|n|). A.cos θ＝ B.cos θ＝ C.sin θ＝ D.sin θ＝ A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3) $$