1.2.2 空间中的平面与空间向量-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

1.2.2　空间中的平面与空间向量 选题明细表 知识点、方法 题号 平面的法向量 1,2,3,6,9 由空间向量证明平行与垂直关系 4,5,7,8,10,12 综合问题 11,13,14 基础巩固 1.设A是空间一定点,n为空间内任一非零向量,满足条件·n=0的点M构成的图形是(　C　) A.圆 B.直线 C.平面 D.线段 解析:因为A是空间一定点,n为空间内任一非零向量, 满足条件·n=0, 所以点M构成的图形是经过点A,且以n为法向量的平面. 2.(多选题)下列命题中,正确的命题为(　ABCD　) A.若n1,n2分别是不重合平面α,β的法向量,则 n1∥n2⇔α∥β B.若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0 C.若n是平面α的法向量,a与平面α平行,则n·a=0 D.若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面不垂直 解析:结合平面法向量的概念,易知A,B,C,D正确. 3.已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的是(　A　) A.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5) B.与同向的一个单位向量的坐标是(1,1,0) C.||=2 D.与是共线向量 解析:因为A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1), 故可得=(2,1,0),=(-1,2,1), 因为≠λ,故,不平行,则D错误; 对于A,不妨记向量m=(1,-2,5), 则m·=2-2=0,m·=-1-4+5=0, 又,不平行,故向量(1,-2,5)是平面ABC的一个法向量,则A正确; 对于B,因为向量(1,1,0)的模长为=, 其不是单位向量,故B错误; 对于C,因为=(2,1,0),故可得||==,故C错误. 4.平面α的法向量 u=(x,1,-2),平面β的法向量 v=(-1,y,),已知α∥β,则x+y等于(　A　) A. B. C.3 D. 解析:由题意得,因为α∥β,所以u=λv(λ∈R), 即解得 所以x+y=4+(-)=. 5.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为(　B　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.位置关系不确定 解析:由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系, 设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0). 故=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0). 故·=0,·=0, 即⊥,⊥,又DQ∩DC=D, 故PQ⊥平面DCQ, 又PQ⊂平面PQC, 所以平面PQC⊥平面DCQ. 6.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1). 若c为平面α的法向量,则m=　　　　,n=　　　　.  解析:c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)= (m+4,m+2n-4,m-n+1), 由c为平面α的法向量, 得得 答案:-1　2 7.平面α与平面β垂直,平面α与平面β的法向量分别为u=(-1,0,5),v=(t,5,1),则t的值为　　　　.  解析:因为平面α与平面β垂直,所以平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直,所以u·v=0,即 -1×t+0×5+5×1=0,解得t=5. 答案:5 8.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n=(2,2,4),若a=(1,1,2),则直线l与平面α的位置关系为　　 　　,若a=(-1,-1,1),则直线l与平面α的位置关系为　　　　　　　　.  解析:若a=(1,1,2),由n=(2,2,4), 可得n=2a,所以l⊥α. 若a=(-1,-1,1),由n=(2,2,4), 可得a·n=(-1)×2+(-1)×2+1×4=0, 即a⊥n,所以l⊂α或l∥α. 答案:l⊥α　l⊂α或l∥α 能力提升 9.(多选题)已知平面α过点P(0,1,1),其法向量为n=(1,1,2),则下列点在平面α内的有(　ABD　) A.(2,1,0) B.(-1,0,2) C.(2,-1,2) D.(2,3,-1) 解析:对于A,设Q(2,1,0),所以=(2,0,-1), ·n=2×1+0×1+(-1)×2=0, 故Q在平面α内, 所以A正确; 对于B,设M(-1,0,2), 所以=(-1,-1,1), 所以n·=1×(-1)+1×(-1)+2×1=0, 所以点M在平面α内,故B正确; 对于C,设N(2,-1,2), 所以=(2,-2,1), 所以·n=2×1-2×1+1×2=2, 所以N不在平面α内, 故C错误; 对于D,设R(2,