1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 选题明细表 知识点、方法 题号 直线方向向量的概念及应用 1,6 线线的平行与垂直关系 3,5,8 异面直线所成的角 4,7 综合问题 2,9,10,11,12,13 基础巩固 1.已知一直线经过点A(2,3,2),B(-1,0,5),则下列向量中不是该直线的方向向量的是(　A　) A.a=(1,1,1) B.a=(-1,-1,1) C.a=(-3,-3,3) D.a=(1,1,-1) 解析:由题知,=(-3,-3,3),则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量.A选项中的向量a=(1,1,1)与不共线,所以不是直线AB的方向向量. 2.(多选题)已知a=(1,-1,1)是直线l1的一个方向向量,b=(2,2,-2)是直线l2的一个方向向量,则下列说法不正确的是(　ABC　) A.a·b=(2,-2,-2) B.l1∥l2 C.l1⊥l2 D.直线l1,l2夹角的余弦值为 解析:因为向量a=(1,-1,1)是直线l1的一个方向向量,b=(2,2,-2)是直线l2的一个方向向量, 由a·b=(1,-1,1)·(2,2,-2)=1×2+(-1)×2+1×(-2)=-2,所以A不正确,符合题意; 设a=λb,可得(1,-1,1)=λ(2,2,-2),此时方程组无解,所以B不正确,符合题意; 由a·b=-2,所以l1与l2不垂直,所以C不正确,符合题意; 由a·b=-2,可得|cos<a,b>|==,所以D正确,不符合题意. 3.如图,下列正方体中,O为下底面的中心,M,N为正方体的顶点,P为所在棱的中点,则满足直线MN⊥OP的是(　B　) 解析:在正方体中,对各选项建立相应的空间直角坐标系,令正方体棱长为2,点O(1,1,0), 对于A,如图(1),M(2,0,2),N(0,2,2),P(0,2,1),=(-2,2,0), =(-1,1,1),·=4≠0,MN与OP不垂直. 对于B,如图(2),M(0,0,2),N(2,0,0),P(2,0,1),=(2,0,-2), =(1,-1,1),·=0,MN⊥OP. 对于C,如图(3),M(2,2,2),N(0,2,0),P(2,0,1),=(-2,0,-2), =(1,-1,1),·=-4≠0,MN与OP不垂直. 对于D,如图(4),M(0,0,2),N(0,2,0),P(2,1,2),=(0,2,-2), =(1,0,2),·=-4≠0,MN与OP不垂直. 4.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=,则AC与BD1所成角的余弦值是(　A　) A.0 B. C. D. 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,),B(2,2,0), A(2,0,0),C(0,2,0). 所以=(-2,-2,),=(-2,2,0), 所以|cos<,>|==0, 即AC与BD1所成角的余弦值为0. 5.(多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则下列选项正确的是(　ABC　) A.EF⊥A1D B.EF⊥AC C.EF∥BD1 D.EF与BD1异面 解析:以D为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(,0,),F(,,0), B(1,1,0),D1(0,0,1),所以=(-1,0,-1),=(-1,1,0), =(,,-),=(-1,-1,1),=-,·=0,·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC. 6.已知直线l1的方向向量a=(2,-3,5),直线l2的方向向量b=(-4,x,y),若l1∥l2,则x=　 ,y=　　　　.  解析:由l1∥l2,得两向量a,b平行,即==(x≠0,y≠0),得x,y的值分别是6和-10. 答案:6　-10 7.如图,已知AB,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径,且AB⊥CD,若该圆柱的底面圆直径是其母线长的2倍,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为　　　　.  解析:取CD的中点O,以O为原点,以CD所在直线为x轴,以底面内过点O且与CD垂直的直线为y轴,以过点O且与底面垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=2,则A(0,-1,1),B(0,1,1),C(-1,0,0),D(1,0,0), =(-1,1,-1),=(1,-1,-1), 所以|cos<,>|===, 所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. 答案: 能力提升 8.(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2