第5章 二次函数与相似三角形存在性问题 专题练习-2023-2024学年苏科版数学九年级下册

二次函数与相似三角形存在性问题 1、 相似三角形基本知识 1） 比例的性质 基本性质： 更比性质： （注：分母不为0） 合比性质： （注：分母不为0） 分比性质： （注：分母不为0） 合分比性质： （注：分母不为0） 等比性质： （注：分母不为0） 2） 相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例 相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 相似三角形的周长比等于相似比. 相似三角形的面积比等于相似比的平方 3）相似三角形的判定 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（SAS） 两角分别相等的两个三角形相似.（AA） 三边成比例的两个三角形相似．（SSS） 2、 坐标轴上寻动点 例1、已知抛物线y=与x轴交于点A、B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，-4). (1) 求抛物线的表达式； (2) 已知点M在y轴上（点M不与点C重合），连接AM,若△AOM与△AOC相似， 求点M的坐标。 两定一动： 1-1、已知抛物线y=-x²+2x+8与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C (1)求点B、C的坐标； (2)连接BC,若BC的中点为点D,请你求经过点A和点D的直线表达式； (3)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点P,使△PCC'与△POB相似，若存在，求出所有P点坐标；若不存在，请说明理由. 三、抛物线上寻动点 两动一定： 例2、在平面直角坐标系中，已知抛物线L : y=ax2＋（c－a）x＋c经过点A（－3，0）和点B（0，－6），L关于原点O对称的抛物线为L'。 ①求抛物线L的表达式； ②点P在抛物线L'上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D。若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标。 2-1、如图，已知抛物线：y=-2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=，P是第一象限内抛物线上的任一点. （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形?请说明理由； （3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标. 2-2、如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若轴交于点E，求的最大值； (3)若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标． 3、 对称轴上寻动点 两定两动： 例3、如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，． （1）求，的值； （2）求直线的函数解析式； （3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 4、 一次函数上寻动点 例4、已知抛物线y=与x轴交于点A、B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，-4). （1）求抛物线的表达式； （2）在直线BC上，是否存在一点N,使得以N、O、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$