5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（2）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2) 问题1　请同学们写出两角差的余弦公式. 提示　cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 问题2　试比较cos(α－β)和cos(α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？ 提示　我们注意到α－β与α＋β有联系，α＋β＝α－(－β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos α·cos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β，于是我们得到了两角和的余弦公式. cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ 两角差的余弦公式： cos(α+β)= cos[α-(-β)] = cosα cos(-β) + sinα sin(-β) = cosα cosβ - sinα sinβ PART 1 两角和与差的余弦公式 对于任意角α，β有 cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ C(α-β) C(α+β) 记忆要点：C C S S ，符号相反 提示：诱导公式五：sin()=cos，cos()=sin = sinα cosβ + cosα sinβ = sinα cosβ + cosα sinβ 同理可证， sin(α - β)= sinα cosβ - cosα sinβ PART 2 两角和与差的正弦公式 对于任意角α，β有 S(α+β) S(α-β) 记忆要点：S C C S ，符号相同 sin(α - β)= sinα cosβ - cosα sinβ sin(α + β)= sinα cosβ + cosα sinβ 1.两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝ ，其中α，β∈R，简记作C(α＋β). 2.两角和与差的正弦公式 sin(α＋β)＝ ，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)； sin(α－β)＝ ，其中α，β∈R，简记作S(α－β). 注意点： (1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”. (2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序. cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 知识梳理 公式巩固 利用两角和与差的正余弦公式，计算下列三角函数的值： (1) sin15° (2) cos75° 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 9 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 延伸探究 1.若本例条件不变，求sin(α－β)的值. 10 由以上可知cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 2.若本例条件不变，求cos(α＋β)的值. 11 你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从C(α±β)，S(α±β)出发，推导出用任意角α、β的正切表示tan(α+β)，tan(α-β)的公式吗？ 探究 ？ 想一想　同角三角函数中的商数关系是什么？ tan(α+β)= ————— sin(α+β) cos(α+β) = ————————— sinα cosβ + cosα sinβ cosα cosβ - sinα sinβ = —————— tanα + tanβ 1 - tanα tanβ 分子分母同时除以cosα cosβ 同理可证， tan(α - β)= —————— tanα - tanβ 1 + tanα tanβ PART 3 两角和与差的正切公式 对于任意角α，β (α，β)有 T(α+β) T(α-β) 记忆要点：上同下异 tan(α - β)= —————— tanα - tanβ 1 + tanα tanβ tan(α+β)= —————— tanα + tanβ 1 - tanα tanβ 例1　(1)tan 255°等于 √ tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75° √ √ 例题探究 例1 已知sin是第四象限角，求sin()，cos()，tan(). 例题探究2 整体法给值求值问题 例2 已知，，求cos2与cos2的值. 跟踪训练2 整体法给值求值问题 已知则______