5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（3）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(3) sin(α+β)与sin2α的异同点是什么？ 思考 ？ 都是角的正弦值，但角的形式不同 2α=α+α sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ 两角和的正弦公式： sin2α= sin(α+α) = sinα cosα + cosα sinα = 2sinα cosα 二倍角的正弦公式： sin2α = 2sinα cosα cos2α= cos(α+α) = cosα cosα - sinα sinα = cos2α - sin2α tan2α= tan(α+α) tanα + tanα 1 - tanα tanα 2tanα 1 - tan2α = —————— = ———— 如果要求二倍角的余弦公式C(2α)中仅含α的正弦(余弦)，那么又可以得到什么？ 思考 ？ 由 cos2α = cos2α - sin2α ， cos2α + sin2α =1 得 cos2α = 2cos2α - 1 ， 或 cos2α = 1-2sin2α， 1.二倍角的正弦公式 sin 2α＝ ，其中α∈R，简记作S2α. 2.二倍角的余弦公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝ ＝ ，其中α∈R，简记作C2α. 3.二倍角的正切公式 tan 2α＝ ，其中α，2α≠kπ＋ (k∈Z)，简记作T2α. 2sin αcos α 2cos2α－1 1－2sin2α 知识梳理 注意点： (1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去. 注意点： (4)常见二倍角公式的变形：cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)； 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2； 公式巩固 已知sin2α=，求sin4α，cos4α，tan4α的值 例题探究1 利用公式给角求值 例1 计算：(1) sincos (2) 1-2sin2750° (3) (4) cos20°cos40°cos80° 跟踪训练1 利用公式给角求值 求下列各式的值： (1) sin ； (2) cos215°-cos275° (3) 例题探究2 化简求值 例2 化简：(1) (2) 【方法技巧】化简求值常用方法 ①切化弦； ②异名化同名； ③异角化同角； ④高次降低次． 例题探究3 给值求值 例3 已知cos=，，求cos的值 课堂小结 倍角公式 变形 sin2α = 2sinα cosα cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1-2sin2α tan2α = ———— 2tanα 1 - tan2α cos2α = sin2α = 1.下列各式中，值为 的是 A.2sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215° C.2sin215° D.sin215°＋cos215° √ 1 2 3 4 sin215°＋cos215°＝1，故选B. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 18 1 2 3 4 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知A，B，C为△ABC的三个内角，依据下列条件，判断三角形的形状： (1)sin C＝2cos Asin B； ∵sin C ＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴已知方程可化为sin Acos B－cos Asin B＝0， 即sin(A－B)＝0. 又－π<A－B<π， ∴A＝B，故△ABC为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴△ABC为直角三角形. (2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想. (3)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠＋kπ(k∈Z). 降幂公式：sin αcos α＝sin 2α；cos2α＝；sin2α＝. 升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α. 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝； cos215°－sin215°＝cos 30°＝； 2sin215°＝1－cos 30°＝1－； 2.若sin ＝，则cos α等于 A.－