第1单元 第2讲 复数-【艺考一本通】2024年高考数学一轮+冲刺（创新版）

第一部分一轮单元复习第一单元 第2讲复数 自主预习●详： 知识梳理 夯实基础 1.复数的有关概念 2.复数的几何意义 内容 意义 备注 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是 形如a十i(a∈R,b∈ 若6=0，则4十i为实 一一对应的，复数集C与复平面内所有以原 复数的 R)的数叫复数，其中实 数：若a=0且b≠0.则 概念 点O为起点的向量组成的集合也是一一对 部为a,虚部为b a十i为纯虚数 应的，即 复数相 a十bi=c十diu=c且 (1)复数之=a十bi 二一对应 复平面内的点 h=d(a,b,c,d∈R) Z(a,b)(a,b∈R). a十i与c十i共轭与 (2)复数=a十i(a,b∈R)一对应 平面向 共轭复数a=c且b=一d(a,b.c, d∈R) 量O立. 3.复数的运算 实轴上的点都表示实 建立平面直角坐标系 数：除了原点外，虚轴 设1=a十bi,2=c十di(a,b,c,d∈R),则 来表示复数的平面叫 复平面 上的点都表示纯虚数， (1)加法：+2=(a十bi)+(c+di)=(a十 做复平面，x轴叫实轴， 各象限内的点都表示 y轴叫虚轴 c)+(b+d)i: 虚数 (2)减法：1一2=(a+bi)-(c+di)=(a 设立对应的复数为： c)+(b-d)i: =a十i,则向量O2的 =+所 (3)乘法：·2=(a十bi)·(c+di)=(ac 复数的 长度叫做复数：=a十 =/a+阳 bd)(ad+bc)i; :的模 (4)除法：之=a+i-a十(c一d zz c+di (c+di)(c-di) ac+bd(bc-ad)i(cdi). c2+d2 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一 复数的概念 实部与虚部相等，其中a为实数，则a= 【例1】(1)(2022·全国乙卷)已知x=1一2i, () 且x十ax十b=0,其中a,b为实数，则 A.-3 B.-2 C.2 D.3 ( 【解析】(1)z=1+2i,x十a2+b=1-2i十 A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 1+a+b=0, 由x十a2+b=0,得 即 (2)(2016·全国I卷)设(1+2i)(a+i)的 12a-2=0. ·7 艺考一本通数学 a=1, 题型二复数的运算 1b=-2. 故选A. 【例2】(1)(2023·新高考I卷)已知之= (2)(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i, 2计2则。一 1-i () a-2=2a十1，解得a=-3,故选A. 【答案】(1)A(2)A A.-i B.i 【规律方法】解决复数概念问题的方法及注意 C.0 D.1 事项 (2)(2023·全国乙卷)川2+￥+2|= (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转 化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题， A.1 B.2 只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满 C.5 D.5 足的方程（不等式）组即可， (3)(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)= (2)解题时一定要先看复数是否为a十bi(a,b∈ R)的形式，以确定实部和虚部。 A.-2+4i B.-2-4i 变式训练一 C.6+21i D.6-21 1.设m∈R,复数x=m2-1+(m十1)i表示纯 (1-i)(1-i) 【解桥】（少之三+2=20开 虚数，则m的值为 ( A.1 B.-1 C.士1 D.0 -2i 1 1 4 小8=2，即-=一i故 2.(多选)复数：满足写 ·g一3i=2,则下列 选A 说法正确的是 ( (2)由题意可得2十+2=2-1一2i=1 A.之的实部为3 B.z的虚部为2 2i,则2++2|=|1-2i=√12+(-2)2 C.=-3+21 D.|z=√13 =√5.故选C 3设复数：满足三-，则：的共矩复数为 (3)(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i, 故选D. ( 【答案】(1)A(2)C(3)D A B.-i C.2i D.-2i 【规律方法】复数代数形式运算问题的常见类型 若是虚数单位则复数 的实部与虚部之积 及解题策略 为 (1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四 则运算，可将含有虚数单位ⅰ的看作一类同类 A.-8 B D.-i 项，不含ì的看作另一类同类项，分别合并 5.已知复数之满足之(2+i)=|3一4i(其中i为 即可. 虚数单位)，则复数x的虚部为 (2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以 A.-1 B.-i C.1 D.i 分母的共轭复数，解题时要注意把ⅰ的暴写成 6.若复数：满足则：的共钜复数为 最简形式。 (3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复 ( 数的运算法则化简，一般化为a十b