4.1 数列（8大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

4.1 数列 一、数列的概念及表示方式 1、数列的有关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫做数列 项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 首项 数列的第1项常称为首项 通项 数列中的第项叫做数列的通项 2、数列的表示 （1）一般形式：，，，…，，… （2）字母表示：上面的数列也可以记为 注：是数列的第项，也叫通项。 3、数列的通项公式 （1）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成， 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． （2）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 二、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 三、数列的函数性质 1、数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。 3、判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法：ⅰ.当时，则 ⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ.当时，则 ⇔数列是递减数列； ⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 四、求数列最大(小)项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项. 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 五、由数列的前几项求数列的通项公式 （1）各项的符号特征，通过或来调节正负项． （2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． （3）相邻项(或其绝对值)的变化特征． （4）拆项、添项后的特征． （5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法， 蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 六、数列的通项an与前n项和Sn的关系 ①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示. 题型一 数列的概念与分类 【例1】（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列0，2，4，6，可记为 【变式1-1】（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【变式1-2】（2023·高二课时练习）数列的通项公式是，，则它的图象是（ ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 【变式1-3】（2022·吉林白山·高三抚松县第一中学校考阶段练习）现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二 由数列的前几项求通项 【例2】（2023·河南·高二校联考阶段练习）数列1，，，…的通项公式可能是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·湖北武汉·高二校联考期中）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8个图有 个点.    【变式2-2】（2023·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【变式2