题型突破五 圆的综合证明与计算题-2024年中考数学真题分类必刷

　 　 62　 题型突破五　 圆的综合证明与计算题 类型 1　 与切线有关的计算与证明 1.(2023·湖北黄冈)如图,△ABC 中,以 AB 为直径的☉O 交 BC 于点 D,DE 是☉O 的切线,且 DE⊥AC,垂足为 E,延长 CA 交 ☉O 于点 F. (1)求证:AB=AC; (2)若 AE= 3,DE= 6,求 AF 的长. 2.(2023·湖南常德)如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形, AB 是直径,C 是BD ( 的中点,过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 的延长线 于点 E. (1)求证:CE 是☉O 的切线; (2)若 BC= 6,AC= 8,求 CE、DE 的长. 3.(2023·湖南张家界)如图,☉O 是△ABC 的外接圆,AD 是☉O 的 直径,F 是 AD 延长线上一点,连接 CD、CF,且∠DCF=∠CAD. (1)求证:CF 是☉O 的切线; (2)若直径 AD= 10,cosB= 3 5 ,求 DF 的长. 4.(2023·浙江温州)如图 1,AB 为半圆 O 的直径,C 为 BA 延长 线上一点,CD 切半圆于点 D,BE⊥CD,交 CD 延长线于点 E,交 半圆于点F,已知 OA = 3 2 ,AC = 1.如图 2,连接 AF,P 为线段 AF 上一点,过点 P 作 BC 的平行线分别交 CE、BE 于点 M、N,过点 P 作 PH⊥AB 于点 H.设 PH= x,MN= y. (1)求 CE 的长和 y 关于 x 的函数表达式; (2)当 PH<PN,且长度分别等于 PH、PN、a 的三条线段组成的 三角形与△BCE 相似时,求 a 的值; (3)延长 PN 交半圆 O 于点 Q,当 NQ= 15 4 x-3 时,求 MN 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 63　 类型 2　 与多边形有关的计算与证明 1.(2023·湖北荆州)如图,在菱形 ABCD 中,DH⊥AB 于点 H,以 DH 为直径的☉O 分别交 AD、BD 于点 E、F,连接 EF. (1)求证: ①CD 是☉O 的切线; ②△DEF∽△DBA; (2)若 AB= 5,DB= 6,求 sin∠DFE 的值. 2.(2023·山东烟台)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交 于点 E,☉O 经过 A、D 两点,交对角线 AC 于点 F,连接 OF 交 AD 于点 G,且 AG=GD. (1)求证:AB 是☉O 的切线; (2)已知☉O 的半径与菱形的边长之比为 5 ∶ 8,求 tan∠ADB 的值. 3.(2023·四川内江)如图,以线段 AB 为直径作☉O,交射线 AC 于点 C,AD 平分∠CAB 交☉O 于点 D,过点 D 作直线 DE⊥AC, 交 AC 的延长线于点 E,交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长 交 AC 的延长线于点 M. (1)求证:直线 DE 是☉O 的切线; (2)当∠F= 30°时,判断△ABM 的形状,并说明理由; (3)在(2)的条件下,ME= 1,连接 BC 交 AD 于点 P,求 AP 的长. 4.(2023·湖南株洲)如图,四边形 ABCD 是半径为 R 的☉O 的内 接四边形,AB 是☉O 的直径,∠ABD = 45°,直线 l 与三条线段 CD、CA、DA 的延长线分别交于点 E、F、G.且满足∠CFE= 45°. (1)求证:l⊥CE; (2)若 AB=GD. ①求证:△ABC≌△GDE; ②若☉O 的半径为 1,CE=