题型突破九 几何图形探究题-2024年中考数学真题分类必刷

69　 题型突破九　 几何图形探究题 类型 1　 与图形折叠有关的探究题 1.(2023·山东枣庄)【问题情境】 如图 1,在△ABC 中,AB = AC = 17,BC = 30,AD 是 BC 边上的中 线.如图 2,将△ABC 的两个顶点 B、C 分别沿 EF、GH 折叠后均 与点 D 重合,折痕分别交 AB、AC、BC 于点 E、G、F、H. 【猜想证明】 (1)如图 2,试判断四边形 AEDG 的形状,并说明理由; 【问题解决】 (2)如图 3,将图 2 中左侧折叠的三角形展开后,重新沿 MN 折 叠,使得顶点 B 与点 H 重合,折痕分别交 AB、BC 于点M、N, BM 的对应线段交 DG 于点 K,求四边形 MKGA 的面积. 2.(2023·辽宁大连)综合与实践 【问题情境】 数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片 探究折叠的性质. 已知 AB = AC,∠A>90°,点 E 为 AC 上一动点,将△ABE 以 BE 为对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探究: 【独立思考】 小明:“当点 D 落在 BC 上时,∠EDC= 2∠ACB” . 小红:“若点 E 为 AC 的中点,给出 AC 与 DC 的长,就可求出 BE 的长” . 【实践探究】 奋进小组的同学们经过探究后提出问题 1,请你回答: 问题 1: 在等腰△ABC 中,AB=AC,∠A>90°,△DBE 由△ABE 翻折得到. (1)如图 1,当点 D 落在 BC 上时,求证:∠EDC= 2∠ACB; (2)如图 2,若点 E 为 AC 的中点,AC= 4,CD= 3,求 BE 的长; 【问题解决】 小明经过探究发现:若将问题 1 中的等腰三角形换成∠A<90° 的等腰三角形,可以将问题进一步拓展. 问题 2: (3)如图 3,在等腰△ABC 中,∠A<90°,AB=AC=BD= 4,2∠D= ∠ABD.若 CD= 1,求 BC 的长. 类型 2　 与图形旋转有关的探究题 1.(2023·江苏扬州)【问题情境】 在综合实践活动课上,李老师让同桌两位同学用相同的两块含 30°的三角板开展数学探究活动,两块三角板分别记作△ADB 和△A′D′C,∠ADB=∠A′D′C= 90°,∠B=∠C= 30°,设 AB= 2. 【操作探究】 如图 1,先将△ADB 和△A′D′C 的边 AD、A′D′重合,再将△A′D′C 绕着点 A 按顺时针方向旋转,旋转角为 α(0°≤α≤360°),旋转 过程中△ADB 保持不动,连接 BC. (1)当 α= 60°时,BC= 　 　 　 　 ;当 BC= 2 2时,α= 　 　 　 　 °; (2)当 α= 90°时,画出图形,并求两块三角板重叠部分图形的 面积; (3)如图 2,取 BC 的中点 F,将△A′D′C 绕着点 A 旋转一周,求 点 F 的运动路径的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 70　 2.(2023·湖南衡阳)【问题探究】 (1)如图 1,在正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O.在 线段 AO 上任取一点 P(端点除外),连接 PD、PB. ①求证:PD=PB; ②将线段 DP 绕点 P 逆时针旋转,使点 D 落在 BA 的延长线 上的点 Q 处.当点 P 在线段 AO 上的位置发生变化时,∠DPQ 的大小是否发生变化? 请说明理由; ③探究 AQ 与 OP 的数量关系,并说明理由; 【迁移探究】 (2)如图 2,将正方形 ABCD 换成