第1讲圆锥曲线定点与定值讲义-2024届高三数学二轮复习

第1讲 圆锥曲线中的定点定值 专题目录： 1、 知识储备 2、 题型专练 3、 真题再现 4、 课后练习 1、 知识储备 （1）求定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. （2） 定点问题： 动直线l过定点问题的解题步骤 第一步：设AB直线y＝kx＋m，联立曲线方程得根与系数关系，Δ求出参数范围； 第二步：由AP与BP关系(如kAP·kBP＝－1)，得一次函数k＝f(m)或者m＝f(k)； 第三步：将k＝f(m)或者m＝f(k)代入y＝kx＋m，得y＝k(x－x定)＋y定． 2、 题型分类 1.已知椭圆：过，两点． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值． 2.圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图），双曲线过点且离心率为． （1）求的方程； （2）椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于，两点，若以线段为直径的圆心过点，求的方程． 3.已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B． （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积． 3、 真题再现 1.（2022·全国乙（文）T）21. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． （1）求E的方程； （2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 2.【2020全国Ⅰ文21理20】已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为与的另一交点为． （1）求的方程； （2）证明：直线过定点． 3.【2020山东】已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 4.（2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点． 4、 课后精练 1.已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是 （1）求椭圆E的方程； （2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 2.在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线与轨迹交于两点. （1）求出轨迹的方程; （2）若，求弦长的值. 3.已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 圆锥曲线中的定点定值 专题目录： 1、 知识储备 2、 题型专练 3、 真题再现 4、 课后练习 1、 知识储备 （1）求定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. （2） 定点问题： 动直线l过定点问题的解题步骤 第一步：设AB直线y＝kx＋m，联立曲线方程得根与系数关系，Δ求出参数范围； 第二步：由AP与BP关系(如kAP·kBP＝－1)，得一次函数k＝f(m)或者m＝f(k)； 第三步：将k＝f(m)或者m＝f(k)代入y＝kx＋m，得y＝k(x－x定)＋y定． 2、 题型分类 1.已知椭圆：过，两点． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值． 【解析】（I）由题意得，，．∴椭圆的方程为． 又，∴离心率． （II）设（，），则． 又，，∴直线的方程为． 令，得，从而． 直线的方程为． 令，得，从而，∴四边形的面积 ． 从而四边形的面积为定值． 2.圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图），双曲线过点且离心率为． （1）求的方程； （2）椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于，两点，若以线段为直径的圆心过点，求的方程． 【解析】（Ⅰ）设圆的半径为，点上下两段分别为，， 由射影定理得，三角形的面积 当时，取得最大，此时 ∵，在双曲线上 ∴，∴双曲线的方程为 （Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点为，由此设的方程为， 其中，由在上，得，∴的方程为， 显然，不是直线，设的方程为