综合与实践 哪条路径最短2023-2024学年青岛版八年级下册数学

综合与实践 哪条路径最短 学会利用轴对称及平移等图形变换解决最短路径问题. 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 活动(一)：思考1.在七(上)，我们遇到过这样的问题：如图，l表示一条河流，A，B是两个村庄，现准备在河上建一座桥.在哪里建桥可以使A，B两村之间的路径最短呢？ A l B 连接AB，与直线l的交点M即为建桥的位置，其根据是“两点之间线段最短”. M 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 A B 小亮的方案如下：连接AB，交l1与点C，过点C作CD⊥l2，垂足为D.连接BD，则在点C处所见的垂直于河岸的桥梁CD是最佳的建桥方案. 你同意他的做法吗？ C D 思考2.前面的问题属于河流很窄，宽度可忽略不计的情况.如果河流较宽，河的两岸互相平行，要在河上修建一座与河岸垂直的桥梁CD，在哪里建桥可使A，B两村之间的路径A-C-D-B最短？ l1 l2 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 思考2.前面的问题属于河流很窄，宽度可忽略不计的情况.如果河流较宽，河的两岸互相平行，要在河上修建一座与河岸垂直的桥梁CD，在哪里建桥可使A，B两村之间的路径A-C-D-B最短？ 小莹认为小亮的方案并非最佳方案，她发现：如果将DB沿DC方向平移，平移距离为DC，使D与C重合，点B平移到B′处. 你同意她的分析吗？ 于是 ，此时A-C-D-B的长=AC+CD+DB=AC+CB′+CD. 其中CD的长一定，但AC+CB′并不是A，B′两点间的最短距离. A B C D l1 l2 B′ 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 思考3.你同意小莹的分析吗？你能在她的基础上设计一条符合要求的最短路径吗？试说明你的理由. A B 过点B作l2的垂线，在垂线上取点B′，使BB′等于河宽.连接AB′，交l1与点C，过点C作CD⊥l2，垂足为D，则CD为所求的建桥位置. C D 设C′D′是另一座桥，连接AC′，D′B，C′B′， 则AC′+C′D′+D′B=AC′+BB′+C′B =AC′+C′B′+CD＞AC+CB′+CD. B′ ∴CD为所求的桥. l1 l2 C′ D′ 关键：将固定线段“桥”平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四形的问题. 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 1.某重型机械厂旁边有长江和支流（如图，假设江边是分别平行的），现要在长江和支流建两座大桥，大桥头必须与江堤和支流垂直，使A地人经过两座桥到达B地路径最短，两桥建在何处？ 解：过A作长江边的垂线，截取AA'等于长江的宽，过B作支流的垂线，截取BB'等于支流的宽， A B 长江 支流 C D 连接A'B'，交长江边于点C，交支流于点D， E F 过C作长江边的垂线，垂足为E，过D作支流的垂线，垂足为F，CE和DF处为桥梁所在位置． B′ A′ 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 活动(二)：思考1.你还记得八(上)的将军饮马的故事吗？如图，将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ C 抽象成 A B l 数学问题 作图：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题. 实际问题 A B l 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 活动(二)：思考1.你还记得八(上)的将军饮马的故事吗？如图，将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ C 作法：(1)作点B关于直线l 的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l 相交于C. B′ 则点C即为所求. 利用轴对称的知识，把直线同侧的点对称至另一侧，将问题转化为最短线段的问题. B · A l · 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 思考2.如图，在河岸的同侧新建两个居民小区，现计划沿河岸修建一条长为s的绿化带CD(宽度不计)，供小区的居民散步使用，当CD选在何处时，路径AC与BD的和最小？ B · A l · D A′ A1 s C s B′ B1 将点A向右平移长度s，得点A1. 设B1为B关于l的轴对称点，连A1B1，交l与点D，在l上点D的左侧取点C，使CD=s，则CD为所求. 为了证明CD符合要求，可在l上任取C′，D′，使 C′D′=s，证明AC′+BD′＞AC+BD. 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 阅读并思考教材P197“观察与思考”中的（4）-（6），尝试回答P198的（7）. 设d1，d2分别代表小亮、小莹方案中铺设的管道长度. 图1 图2 ①当a＜2m- 时，d1＞d2；②当a=2m- 时，d1=d2；③当a＞2m- 时，d1＜d2.