5.5.1两角差的余弦公式 第一课时 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

新教材人教版·高中必修第一册 5．5　三角恒等变换 第五章 三角函数 5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第一课时　两角差的余弦公式 1、两角差的余弦公式 ONTENTS 公式引入 1、两角差的余弦公式 公式引入 1、两角差的余弦公式 公式引入 1、两角差的余弦公式 公式理解 1、两角差的余弦公式 巩固与练习 巩固与练习 注意：非特殊角的三角函数求值，要充分考虑能否转化为两特殊角的和与差 巩固与练习 注意：考察7°与15°、8°内在联系，不难发现 7°＝15°－8° 巩固与练习 巩固与练习 巩固与练习 注意到： ＝(＋)－ 巩固与练习 巩固与练习 规律方法 小结 小结 诱导公式 复习引入 同学们我们回顾一下和差倍角的三角函数公式推导历程： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β sin(α－β)＝sinαcos β－cosαsin β sin(α＋β)＝sinαcos β＋cosαsin β 下上两等式相除 －代 －代 －代 令α＝ 复习引入 学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富. 问题1 我们知道在倍角公式中，“倍角是相对的”，对余弦的二倍角公式，思考下面问题： (1)如何用cos 2α表示sin2α，cos2α，tan2α？ 巩固与练习 与有什么关系? 问题一 利用三角函数的半角公式求值 巩固与练习 问题一 利用三角函数的半角公式求值 巩固与练习 综合例1结论 巩固与练习 问题2 通过上题,同学们三角恒等变换的特点是什么？ 结论在结构上有什么特点？ 这个特点，给我们三角式的化简、三角恒等式的证明等，在解决思路上带来很好的帮助！ 巩固与练习 方法1 巩固与练习 方法2 巩固与练习 首先要判断所在的象限，然后再求其函数值 巩固与练习 规律方法 巩固与练习 问题二 三角函数式的证明 巩固与练习 问题二 三角函数式的证明 巩固与练习 例2的证明用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式，或者，把sin αcos β看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程（组）求x.它们都体现了化归思想. 问题3 分析上题解题过程运用了什么数学方法和数学思想？ 巩固与练习 问题三 三角函数式的化简 三角函数式化简，一般首先统一角，这样方可便于合并约分等化简，本题显然单角变半角，更容易利用公式。 巩固与练习 问题二 三角函数式的化简 当遇到开方运算时，要时刻注意角的范围 深化与思考 × × √ × 小结 限时小练 简解答： 不妨令α≠2kπ+β，k∈Z. 如图5.5-1，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α-β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cos α，sinα),A1(cosβ，sin β），P(cos(α-β)，sin(α-β)). 如果已知任意角a，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α一β的正弦、余弦吗？ 由以往的经验，仍然由余弦函数的定义及单位圆来研究. 温馨提示：任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重这一性质叫做圆的旋转对称性. (OAP≌OA1P1) 如何建立A、P、A1、P1四点坐标之间的等量关系？ 连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合，根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而=所以AP= A1P1. 复习回顾：平面上任意两点P1(x1，y1）P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝ 当α=2kπ+β（k∈Z）时，容易证明上式仍然成立.此时cos2α＋sin2α＝1 根据两点间的距离公式，得 [cos(α-β)-1]2 + sin2(α-β) =(cosα－cosβ)2+(sinα－sinβ)2化简得 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 所以，对于任意角α，β有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. C(α－β) 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β) (1) 任意角α，β都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．因此它可以涵盖前面的所有余弦诱导公式； (2) 前面是两角差，后面则是“和” (3) 避免出现①cos(α－β)＝cos α－cos β ②cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ的错误 (4) 注意公式的逆向应用cosαcosβ＋sinαsinβ＝co